Question

4．半徑分別為r和2r的兩個質量不計的圓盤，共軸固定連接在一起，可以繞水平軸O無摩擦轉動，大圓盤的邊緣上固定有一個質量為m的質點A，小圓盤上繞有細繩．開始時圓盤靜止，質點A處在水平面軸O的正下方位置．現以水平輕繩通過定滑輪掛一重物B，使兩圓盤轉動，如圖所示．求：
（1）若重物B的質量也為m，則兩圓盤轉過的角度θ為多大時，質點A的速度最大？并求出最大速度．
（2）若圓盤轉過的最大角度為$\frac{π}{3}$，求重物B的質量為多大？

Answer 1

分析 （1）在轉動過程中，A、B兩物體的速度之比為2：1，根據機械能守恒定律求得質點A的速度與θ的關系式．當繩子拉力F的力矩等于A的重力mg的力矩時，質點A的速度最大，根據力矩平衡條件列方程，聯立可求A的最大速度；
（2）在轉動過程中轉動最大偏轉角時，A、B速度都為零，根據機械能守恒定律即可求重物B的質量．

解答 解：（1）設質點A的速度為v，同軸轉動的物體角速度相等，根據公式v=rω，則物體m的速度為0.5v；
當兩圓盤轉過的角度θ時，兩個物體構成的系統減小的重力勢能等于增加的動能，根據機械能守恒定律，有：
   mg•rθ-mg•2r（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²+$\frac{1}{2}$m（0.5v）²；
解得：v=$\sqrt{\frac{8gr（θ+2cosθ-2）}{5}}$；
當繩子拉力F的力矩等于A的重力mg的力矩時，質點A的速度最大．
則有 Fr=mg•2rsinθ
又 F=mg
解得 θ=$\frac{π}{6}$
代入v=$\sqrt{\frac{8gr（θ+2cosθ-2）}{5}}$得質點A的速度最大值為：v_m=$\sqrt{\frac{8}{5}gr（\frac{π}{6}+\sqrt{3}-2）}$
（2）在轉動過程中轉動最大偏轉角時，A、B速度都為零，根據系統的機械能守恒得：
F•$\frac{π}{3}$r=mg•2rcos$\frac{π}{3}$
又 F=mg
解得 m=$\frac{3g}{π}$
答：（1）當θ=$\frac{π}{6}$時，質點A的速度最大．最大速度是$\sqrt{\frac{8}{5}gr（\frac{π}{6}+\sqrt{3}-2）}$．
（2）若圓盤轉過的最大角度為$\frac{π}{3}$，重物B的質量為$\frac{3g}{π}$．

點評 本題關鍵在于分析什么時候質點的速度最大，要根據力矩的作用使物體產生轉動來分析；同時要能結合功能關系和能量守恒定律列方程求解．