Question

11．如圖，水平軌道A點左側光滑，右側粗糙，距A點s=1.0m的B端與半徑R=0.25m的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直．一小物塊b以v₀=3.0m/s的速度，與靜置于A點的小物塊a發生彈性碰撞．碰后a沿水平軌道運動，然后滑上軌道BCD．已知小物塊a的質量m_a=1.0kg，a與AB軌道間的動摩擦因數μ=0.20，g取10m/s²．
（1）若a到達半圓軌道的中點C點時速率v_C=1.0m/s，求a進入半圓軌道的B點時對軌道的壓力大小；
（2）若a能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求a碰后的最大速度；
（2）若a能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求b的質量m_b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由機械能守恒定律求出a到達B點的速度，然后應用牛頓第二定律求出支持力，再求出壓力．
（2）應用動能定理可以求出a碰后的速度．
（3）碰撞過程機械能守恒，應用機械能守恒定律可以求出b的質量范圍．

解答 解：（1）設物塊a經過B點時的速度為v_B，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$m_av_B²=$\frac{1}{2}$m_av_C²+m_agR   ①
設物塊剛進入圓軌道時受到的支持力為N，
由牛頓第二定律得：N-m_ag=m_a$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$      ②
解得：N=34N，由牛頓第三定律知，a對軌道的壓力大小為34N．
（2）要使a仍能沿圓軌道滑回，a在圓軌道的上升高度不能超過半圓軌道的中點C．
設碰后a的速度為v₁時恰能滑到C點，由動能定理有：
-μm_ags-m_agR=0-$\frac{1}{2}$m_av₁²    ③
解得：v₁=3m/s，此為a碰后的最大速度．
（3）設碰后a的速度為v₂時恰能滑到B點，
由動能定理有：-μm_ags=0-$\frac{1}{2}$m_av₂²    解得：v₂=2.0m/s；
碰后a的速度滿足2.0m/s≤v_a≤3.0m/s時，a能滑上圓軌道，并仍能沿圓軌道滑下．
設 b、a發生彈性碰撞的速度分別為v_b、v_a，以b的初速度方向為正方向，
根據動量守恒定律得：m_bv₀=m_av_a+m_bv_b，
碰撞過程無動能損失：$\frac{1}{2}$m_bv₀²=$\frac{1}{2}$m_av_a²+$\frac{1}{2}$m_bv_b²，
解得：v_a=$\frac{2{m}_{v}_{0}}{{m}_{a}+{m}_}$，由2.0m/s≤$\frac{2{m}_{v}_{0}}{{m}_{a}+{m}_}$≤3.0m/s，
解得：0.50kg≤m_b≤1.0kg；
答（1）a進入半圓軌道的B點時對軌道的壓力大小為34N；
（2）a碰后的最大速度為3m/s；
（2）b的質量m_b的取值范圍是0.50kg≤m_b≤1.0kg．

點評 本題考查了求壓力、速度與質量范圍問題，分析清楚物體運動過程是解題的前提與關鍵，分析清楚物體運動過程后應用動量守恒定律、動能定理、機械能守恒定律可以解題．