Question

如圖，光滑管形圓軌道半徑為R（兩物體位移之差保持不變，管徑遠小于R），小球a、b大小相同，質量均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無摩擦運動．兩球先后以相同速度v通過軌道最低點，且當小球a在最低點時，小球b在最高點，以下說法錯誤的是（　　）

• A、速度v至少為v=2

  gR

  ，才能使兩球在管內做圓周運動
• B、當v=

  5gR

  時，小球b在軌道最高點對軌道無壓力
• C、當小球b在最高點對軌道無壓力時，小球a比小球b所需向心力大5mg
• D、只要v≥

  5gR

  ，小球a對軌道最低點的壓力比小球b對軌道最高點的壓力大6mg

Answer 1

分析：題中兩球的質量相同，相當于同一個球．要使小球能通過最高點，只要小球的速度大于零即可；當向心力等于重力時，小球對軌道沒有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點時速度；再由機械能守恒可求得小球在最低點時的速度，由公式F=m

v2

R

得到小球在最低點時所需要的向心力，并能根據機械能守恒和牛頓運動定律求得最低點與最高點處壓力的差值．

解答：解：
A、因小球在管內轉動時，在最高點時，由管道能支撐小球，內管可對小球提供向上的支持力，與輕桿模型類似，故小球在最高點的最小速度為零．
設小球能做圓周運動，到達最低點時的最小速度為v．根據機械能守恒得：
  mg?2R=

1

2

mv2
得 v=2

gR

．故A正確；
B、當小球對軌道無壓力時，由重力提供向心力，則有：mg=m

v 2 b

R

；解得：v_b=

gR

；即當速度為v=

gR

時，小球在軌道最高點對軌道無壓力；
由機械能守恒定律可得，mg?2R=

1

2

mv_a²-

1

2

mv_b²；
得小球在最低點時的速度 v_a=

5gR

，故最低點速度v=

5gR

時，小球在最高點對軌道無壓力；故B正確；
C、在最高點無壓力時，向心力 F_b=mg；最低點時，向心力F_a=m

v 2 a

R

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故C錯誤；
D、當v≥

5gR

時，在最高點時，管道對小球有向下的壓力，由F₁+mg=m

v 2 1

R

；解得 F₁=m

v 2 1

R

-mg；
最低點時，有 F₂-mg=m

v 2 2

R

；解得F₂=m

v 2 2

R

+mg；
  所以F₂-F₁=2mg+m

v 2 2

R

-m

v 2 1

R

；
由機械能守恒可得：mg?2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
則可得：F₂-F₁=6mg；
根據牛頓第三定律得：只要能做完整的圓周運動，壓力之差都等于6mg；故D正確；
本題選錯誤的，故選：C

點評：小球在豎直面內的圓周運動，要區分繩子類型與輕桿類型，本題相當于輕桿模型．若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時，小球才能通過；而用桿或在管內運動的小球，只要速度大于零，小球即可通過最高點．