Question

如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動．彈射裝置將一個小球（可視為質點）從a點水平彈射向b點并進入軌道，經過軌道后從最高點d水平拋出．已知小球與地面ab段間的動摩擦因數μ=0.2，不計其它機械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質量m=0.01kg，軌道質量為M=0.26kg，g=10m/s²，求：
（1）要使小球從d點拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足什么條件？
（2）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v₀至少為多少時，小球經過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力為零．
（3）若v₀=3m/s，小球最終停在何處？

Answer 1

分析：（1）小球離開d后做平拋運動，根據幾何關系可知，只要下落3R過程水平位移超過R即碰不到軌道，然后利用動能定理即可求解．
（2）在c點對小球進行受力分析，依據向心力公式列方程，然后結合動能定理即可求解．
（3）先判斷小球能否通過d點，若能通過根據平拋規律求解，若不能，根據功能關系求解．

解答：解：（1）設小球到達d點處速度為v_d，由動能定理，得：
-mgμL-4mgR=

1

2

m 

v

2 d

-

1

2

m

v

2 0

    ①
如小球由d點做平拋運動剛好經過圖中的O點，則有
3R=

1

2

gt2          ②
R=v_dt            ③
聯立①②③并代入數值得：v0=

79 6

≈

13.1

m/s．
小球的初速度v₀需滿足：v0＞

13.1

m/s
故要使小球從d點拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足條件為：v0＞

13.1

m/s
（2）設小球到達c點處速度為v_c，由動能定理，得
-μmgL-mg2R=

1

2

m

v

2 c

 -

1

2

m

v

2 0

      ④
當小球通過c點時，由牛頓第二定律得：F+mg=m

v 2 c

R

    ⑤
要使軌道對地面的壓力為零，則有：F=Mg        ⑥
聯立④⑤⑥并代入數值，解得小球的最小速度：v₀=6 m/s  
故當v₀至少為6m/s時，小球經過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力為零．
（3）小球能通過d點，需滿足v_d≥0，由動能定理：
-mgμL-4mgR=0-

1

2

m

v

2 0

得：v0=

13

m/s．
因v0=3m/s＜

13

m/s，小球過不了d點而沿軌道原路返回，對整個過程由動能定理，有：
-μmgx=0-

1

2

m

v

2 0

得：x=2.25m
故小球最終停在a右側0.25m處．

點評：豎直平面的圓周運動往往結合能否完成圓周運動的臨界條件以及平拋運動進行考查，解題思路是正確受力分析列向心力方程，然后結合功能關系求解．