Question

10．如圖所示在一個B=2T的勻強磁場中，有一個邊長L=0.2m的正方形線框，線框匝數n=10，線框內阻r=0.1Ω．開始時線框平面和磁場方向垂直，線框繞垂直于磁場方向的中心軸以360r/min的轉速勻速轉動，從圖示時刻開始計時，求：
（1）過線框的磁通量隨時間變化的表達式．
（2）線框中產生的電動勢隨時間變化的表達式．
（3）線框中電流隨時間變化的圖象．（規定沿abcd流的電流為正）
（4）線框轉過90°的過程中，線框中電流的平均值，通過線框橫截面的電量．
（5）線框轉過90°的過程中，線框中電流的有效值，電流通過線框時產生的發熱量．

Answer 1

分析 （1）根據磁通量∅=BScosωt，再結合ω=2πn，即可求解；
（2、3）先根據E_m=nBSω求出最大電動勢，再根據閉合電路歐姆定律求出電流的最大值，最后根據感應電流與感應電動勢的瞬時值表達式的關系即可求解；
（4）先求出電動勢的平均值，根據歐姆定律求出電流平均值，再根據q=$\overline{I}t$求解電量；
（5）先求出電流的有效值，再根據Q=I²rt求解熱量．

解答 解：（1）根據ω=2πn=2π×$\frac{360}{60}$=12πrad/s，
而磁通量∅=BScosωt=2×0.2×0.2×cos12πt（Wb）=0.08cos12πt（Wb）；
（2）產生的感應電動勢最大值為E_m=nBSω=10×2×0.2×0.2×12πV=9.6πV
那么線框中產生的電動勢隨時間變化的表達式：e=9.6πsin12πt（V）；
（3）根據閉合電路歐姆定律，電流的最大值I_m=$\frac{{E}_{m}}{{R}_{總}}$=96πA
在圖示位置時，電流有最小值，則電流的瞬時值表達式為i=I_msinωt，代入數值得
感應電流的瞬時表達式為：i=96πsin12πt（A）
因規定電流沿abcda的方向為正，則線框中電流隨時間變化的圖象如下圖所示：

（4）在轉過90°過程中的平均值為：
E_平均=$n\frac{△∅}{△t}=n\frac{BS}{\frac{T}{4}}=\frac{10×2×0.2×0.2}{\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}}$=19.2V
線框中電流的平均值$\overline{I}=\frac{{E}_{平均}}{r}=\frac{19.2}{0.1}=192A$，
通過線框橫截面的電量q=$\overline{I}t=192×\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}=8C$
（5）電流的有效值I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{9.6π}{0.1×\sqrt{2}}=\frac{96π}{\sqrt{2}}A$=213.2A，
則電流通過線框時產生的發熱量Q=${I}^{2}rt=（{\frac{96π}{\sqrt{2}}）}^{2}×0.1×\frac{1}{4}×\frac{2π}{12π}$=189.3J
答：（1）穿過線框的磁通量隨時間變化的表達式0.08cos12πt（Wb）；
（2）線框中產生的電動勢隨時間變化的表達式9.6πsin12πt（V）；
（3）畫出線框中電流隨時間變化的圖象如上圖所示；
（4）線框轉過90°的過程中，線框中電流的平均值為192A，通過線框橫截面的電量為8C．
（5）線框轉過90°的過程中，線框中電流的有效值為213.2A，電流通過線框時產生的發熱量為189.3J．

點評 本題考查了有關交流電描述的基礎知識，要能根據題意寫出瞬時值的表達式，知道有效值跟峰值的關系，注意磁通量大小與線圈的匝數無關，同時注意線圈的開始計時點是解題的關鍵．