Question

1．如圖，ae、dg為兩根相互平行、水平放置的金屬導軌，其ad端接一個阻值為R的定值電阻．邊長為L的正方形abcd區域內有一個豎直向下的勻強磁場B₁，B₁隨時間均勻增大．ef、fg為二根金屬棒，交點f處絕緣不導通．efg構成一個等邊三角形，處在另一水平勻強磁場中，磁感應強度大小為B₂．金屬棒MN垂直導軌ae、dg放置在eg位置處，從t=0時刻起，在一個垂直金屬棒的外力F作用下向右做速率為v的勻速直線運動，回路內產生的感應電流為I．已知金屬棒的質量為m，電阻不計，與efg導軌的動摩擦因數為μ．重力加速度為g．求：
（1）B₁隨時間均勻增大的變化率；
（2）外力F隨時間t變化的表達式；
（3）導體棒運動到最右端f點的過程中，回路內摩擦產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）根據法拉第電磁感應定律結合全電路歐姆定律求出B₁隨時間均勻增大的變化率；
（2）金屬棒勻速運動，外力等于摩擦力，
（3）摩擦力與位移成線性關系，根據平均力做功求產生的熱量；

解答 解：（1）根據法拉第電磁感應定律${ε_感}=n\frac{△Φ}{△t}=\frac{{△{B_1}}}{△t}{L^2}=IR$，
解得：$\frac{{△{B_1}}}{△t}=\frac{IR}{L^2}$；
（2）金屬棒：F=μ（mg+B₂IL_x），
有效長度${L_x}=L-\frac{{2\sqrt{3}vt}}{3}$，
解得：$F=μmg+μ{B_2}IL-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}μ{B_2}Ivt$（$0≤t≤\frac{{\sqrt{3}L}}{2v}$）；
（3）摩擦力的平均力$\overline{f}=\frac{{f}_{1}^{\;}+{f}_{2}^{\;}}{2}=\frac{μ（mg+{B}_{2}^{\;}IL）+μmg}{2}$=$\frac{1}{2}（μmg+μmg+μ{B}_{2}^{\;}IL）$
克服摩擦力做功等于摩擦產生的熱量Q，$Q=\overline{f}•\frac{\sqrt{3}}{2}L$
代入解得：$Q=\frac{1}{2}（μmg+μmg+μ{B_2}IL）\frac{{\sqrt{3}}}{2}L=\frac{{\sqrt{3}}}{4}μ（2mg+{B_2}IL）L$．
答：（1）B₁隨時間均勻增大的變化率為$\frac{IR}{{L}_{\;}^{2}}$；
（2）外力F隨時間t變化的表達式$F=μmg+μ{B}_{2}^{\;}IL-\frac{2\sqrt{3}}{3}μ{B}_{2}^{\;}Ivt$$（0≤t≤\frac{\sqrt{3}L}{2v}）$；
（3）導體棒運動到最右端f點的過程中，回路內摩擦產生的熱量Q為$\frac{\sqrt{3}}{4}μ（2mg+{B}_{2}^{\;}IL）L$

點評 本題考查法拉第電磁感應定律、安培力、閉合電路的歐姆定律及電路的性質，注意當力和位移呈線性關系時，可以用平均力求做功，也可出作出F-S圖象求面積．