Question

1．如圖所示，在光滑水平面上，存在著垂直紙面向外的勻強磁場Ⅰ、垂直紙面向里的勻強磁場Ⅱ，O、M、P、Q為磁場邊界和x軸的交點，OM=MP=L．一質量為m、帶電荷量為+q的帶電小球，從原點O處，以速度大小v₀與x軸正向成45°射入區域Ⅰ，又從M點射出區域Ⅰ（粒子的重力忽略不計）．
（1）求區域Ⅰ的磁感應強度大小．
（2）若帶電小球能再次回到原點O，則勻強磁場Ⅱ的寬度d需滿足什么條件？小球兩次經過原點O的時間間隔為多少？

Answer 1

分析 （1）小球在磁場Ⅰ區做勻速圓周運動從M點穿出，根據對稱性，穿出時與x軸成45°，由幾何關系求出半徑r，再由洛侖茲力提供向心力可以求得磁感應強度．
（2）若帶電小球能再次回到原點O，則粒子在Ⅱ區做勻速圓周運動的圓心必在x軸上，這樣粒子從Ⅱ區穿出時才能射到M點，再回到O點．這樣由幾何關系可以求出粒子在Ⅱ區里做勻速圓周運動的半徑R，只有當軌跡與邊界相切時，寬度最小，磁場Ⅱ區最小寬度由幾何關系求出．至于時間把粒子在三個區域的時間相加，就能得出結果．

解答 解：（1）帶電小球從原點與x軸成45°角出發，在磁場Ⅰ區做勻速圓周運動從M點穿出，則：
             $q{v}_{0}{B}_{1}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{r}$   ①
   由幾何關系知：L=2r cos45°      ②
   聯立以上兩式得：${B}_{1}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$  
（2）根據對稱性，從M點穿出時與x軸也成45°角，然后做勻速直線運動進入磁場Ⅱ區，在Ⅱ區再
做勻速圓周運動，離開Ⅱ區后做勻速直線運動從M點再次進入Ⅰ區，這樣恰恰從O點經過，軌跡如圖所示：
    由幾何關系有：粒子在Ⅱ區做勻速圓周運動的半徑為：$R=\sqrt{2}L$   ③
    帶電小球能再次回到原點O，則勻強磁場Ⅱ的寬度d需滿足：d≥R+Rcos45°      ④
    聯立得：$d≥（\sqrt{2}+1）L$　　　
    粒子在Ⅰ區的時間：${t}_{1}=2×\frac{1}{4}{T}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{2πr}{{v}_{0}}=\frac{\sqrt{2}πL}{{2v}_{0}}$    
    在無場區的時間：${t}_{2}=2×\frac{\sqrt{2}L}{{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{2}L}{{v}_{0}}$  
    在Ⅱ區的時間：${t}_{3}=\frac{3}{4}{T}_{2}=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{{v}_{0}}=\frac{3\sqrt{2}πL}{2{v}_{0}}$
    粒子回到O點的時間為：t=t₁+t₂+t₃=$\frac{2\sqrt{2}（π+1）L}{{v}_{0}}$．
答：（1）區域Ⅰ的磁感應強度大小為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qL}$．
（2）若帶電小球能再次回到原點O，則勻強磁場Ⅱ的寬度d需滿足$d≥（\sqrt{2}+1）L$，小球兩次經過原點O的時間間隔為$\frac{2\sqrt{2}（π+1）L}{{v}_{0}}$．

點評 本題的靚點在于要使粒子能回到O點，那么粒子在Ⅱ區做勻速圓周運動的圓心必在x 軸上，根據圓周運動的對稱性粒子從Ⅱ區穿出后做直線運動到M點，做圓周運動最后回到O點．雖然Ⅱ區磁磁感應強度未知，但由于做圓周運動的半徑由幾何關系能求出，所以在每個區域的時間均能表示出來．