Question

2013年12月2日1時30分我國成功發射“嫦娥三號”，于12月14日21時11分在月球正面的虹灣以東地區著陸．12月15日凌晨，“嫦娥三號”搭載的“玉兔”號月球探測器成功與“嫦娥三號”進行器件分離，我國航天器首次實現在地外天體的軟著陸，表明中國航天技術獲得了重大進展．
某同學提出設想：“玉兔”號月球車登陸月球后，利用月球車附屬機械裝置進行科學實驗，讓單擺在月球表面做小幅度振動，測出單擺擺長為L，單擺振動周期為T（已知月球的半徑為R，萬有引力常量為G，可認為此月球表面的物體受到的重力等于物體與月球之間的萬有引力），則可求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質量M；
（3）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析：（1）單擺在月球表面做小幅度振動時，其周期公式為T=2π

L g

，g是月球表面的重力加速度．由此公式變形即可求得g．
（2）物體在月球表面時，萬有引力等于重力，列式即可求得月球的質量．
（3）根據重力提供向心力，可計算月球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）根據單擺周期公式T=2π

L g

解得：g=

4π2L

T2

（2）在月球表面，物體受到的重力等于物體與月球間的萬有引力，設物體的質量為m₀，
有G

Mm0

R2

=m0g
解得：M=

gR2

G

=

4π2R2L

GT2

（3）設月球的第一宇宙速度為v，設衛星的質量為m
根據重力提供向心力m

v2

R

=mg
解得：v=

gR

=

2π

T

RL

答：（1）月球表面的重力加速度g為

4π2L

T2

；
（2）月球的質量M為

4π2R2L

GT2

；
（3）月球的第一宇宙速度v為

2π

T

RL

．

點評：本題是單擺周期公式和萬有引力的綜合應用，它們之間聯系的紐帶是重力加速度g，是一道好題．