Question

10．如圖所示，空間中分別沿水平、豎直方向建立xOy坐標系．用某種方式將空間分隔成若干個等高區域，各區域高度d=0.2m，從上到下依次記為第1區域、第2區域…．各偶數區域內有豎直向上的勻強電場和水平向里的勻強磁場，場強E=5N/C，磁感強度B=1T；奇數區域內既無電場又無磁場．一個比荷$\frac{q}{m}$=2C/kg的帶正電粒子從O點自由下落，不計空氣阻力，g=10m/s²，sin11.54°=0.2．求：
（1）粒子剛進入第2區域的速度及通過第2區域所用的時間t；
（2）粒子穿過任意區域前后，水平速度的變化量△v_x；
（3）粒子最多能到達第幾區域？

Answer 1

分析 （1）根據自由落體運動速度與位移規律，即可求解速度，再依據勻速圓周運動，可知，電場力與重力的關系，再結合洛倫茲力提供向心力，及幾何關系，即可求解；
（2）根據水平方向不受力，則水平方向的速度不變，結合圓周運動的線速度公式，從而求解；
（3）根據動能定理，結合粒子在最低點時速度方向水平，進而即可求解．

解答 解：（1）如圖所示，設帶電粒子從O點自由下落，剛進入第2區域時速度為v，由自由落體運動有：
v²=2gd
解得：v=2m/s
粒子在第2區域，由于qE=mg，所以粒子在該區域內做勻速圓周運動．設軌道半徑為r，在第一個區域運動時偏轉的角度為θ，則有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$

sinθ=$\fracp9vv5xb5{r}$
T=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
t=$\frac{θ}{360°}T$
代入數據解得：t=0.1s
（2）①粒子在各奇數區域內運動時，水平方向不受力，

故在水平方向的速度不變，即△v_x=0
②粒子在任意偶數區域內做勻速圓周運動，設其半徑為r，再設粒子進入區域時速度大小為v，與水平方向夾角為α，離開時與水平方向夾角為β，則
△v_y=vcosβ-vcosα
又因為v=$\frac{qBr}{m}$
得$△{v}_{x}=\frac{qB}{m}（rcosβ-rcosα）$=$\frac{qBd}{m}$=0.4m/s
（3）粒子若能進入奇數區域則必然能從中射出．設它恰好不能從第2n個區域內射出，它在該區域運動時的速度大小為v，對粒子的整個運動過程由動能定理，有：
mgd=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
粒子在最低點時速度方向水平，即有：v=v_x=n•△v_x=0.4n；
則代入上式解得：n=25
故粒子不能穿過第50個區域．
答：（1）粒子剛進入第2區域的速度2m/s及通過第2區域所用的時間0.1s；
（2）粒子穿過任意區域前后，水平速度的變化量0.4m/s；
（3）粒子最多能到達第25區域．

點評 考查自由落體運動的規律，掌握由運動性質來判定力之間的關系，并理解幾何關系的應用，注意第二問，水平方向不受力，即水平方向速度不變，還有第三問，粒子在最低點時速度方向水平是解題的關鍵．