Question

13．一單擺在山腳處的周期為T₁，將其移至山頂，保持擺長不變，周期變為T₂，山腳處到地球中心的距離為R，則山頂到山腳的高度差h=$\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$．

Answer 1

分析 根據萬有引力和物體受到的重力的大小相等可以求得在地面上和高度為h處的重力加速度大小的表達式，進而由單擺的周期公式可以求得高度的大小．

解答 解：設單擺的擺長為L，地球的質量為M，則據萬有引力定律可得地面的重力加速度和高度為h時的重力加速度分別為：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$…①
g′=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$…②
方程左右兩邊相除得：$\frac{g}{g′}=\frac{（R+h）^{2}}{{R}^{2}}$…③
據單擺的周期公式可知T₁=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$…④
T₂=2π$\sqrt{\frac{L}{g′}}$…⑤
兩邊相比得：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}=\sqrt{\frac{g′}{g}}$
即$\frac{g}{g′}=\frac{{T}_{2}^{2}}{{T}_{1}^{2}}$…⑥
聯立③⑥得：$h=\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$
故答案為：$\frac{{T}_{2}-{T}_{1}}{{T}_{1}}•R$

點評 單擺的周期是由單擺的擺長和當地的重力加速度的大小共同決定的，在不同的地方，重力加速度的大小是不同的．