Question

10．如圖所示，光滑的水平導軌AB，與半徑為R=0.4m的光滑半圓軌道BCD相切于B點，水平軌道部分存在水平向右的場強為E=1.0×10⁴N/C的勻強電場，半圓形軌道在豎直平面內，B點為最低點，D為最高點．一質量為m=1kg帶正電荷量q=+8.0×10-4C的小球從距B點距離為x的某點在電場力的作用下由靜止開始沿AB向右運動，恰能通過最高點D，（g取10m/s²）則：
（1）小球運動到圓形軌道B點時對軌道的壓力；
（2）小球開始運動時距B點的距離x．

Answer 1

分析 （1）根據小球恰好能能通過最高點求得小球在D點的速度速度，再根據動能定理得小球在B點的速度，根據牛頓第二定律求得小球對軌道的壓力；
（2）根據動能定理求得小球開始運動時距B點的水平距離x．

解答 解：（1）小球恰好能通過最高點點D，則有在D點時滿足：
$mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
可得  ${v}_{D}^{\;}=\sqrt{gR}$  ①
小球從B點到D點只有重力做功，根據動能定理有：
$-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ ②
根據牛頓第二定律知，在B點有：
${F}_{N}^{\;}-mg=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$③
由①②③解得F_N=6mg=60N
由牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力也為60N；
（2）小球釋放到運動到D點只有電場力和重力做功，根據動能定理有：
$qEx-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-0$
代入①解得x=$\frac{5mgR}{2qE}$=$\frac{5×10×0.4}{2×8×1{0}_{\;}^{-4}×1×1{0}_{\;}^{4}}=1.25m$
答：（1）小球通過B點開始做圓周運動時對軌道的壓力為6mg；
（2）小球開始運動時距B點的距離x為1.25m．

點評 動能定理與向心力知識綜合是常見的題型．小球恰好通過最高點時速度與輕繩模型類似，軌道對小球恰好沒有作用力，由重力提供向心力，臨界速度v=$\sqrt{gR}$．