Question

19．如圖所示，平面直角坐標系xOy在第一象限內存在水平向左的勻強電場，第二、四象限內存在垂直紙面向里的勻強磁場，第三象限內存在與x軸負方向成30°角斜向上的勻強電場．一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子以一定初速度從y軸上的A點與y軸正方向成60°角垂直磁場方向射入第二象限，粒子從x軸上的C點與x軸正方向成30°角進入第三象限，粒子到達y軸上的D點（沒畫出）時速度剛好減半，經第四象限內磁場偏轉后又能垂直x軸進入第一象限內，最后恰好回到A點，已知OA=$\sqrt{3}$a，第二象限內勻強磁場的磁感應強度為B，粒子重力不計，求：
（1）粒子的初速度v₀和第四象限內勻強磁場的磁感應強度B₁；
（2）第一、三象限內勻強電場的電場強度E₁、E₂；
（3）粒子在第一、三象限內運行的時間比t₁：t₃．

Answer 1

分析 （1）由粒子在第二象限內做勻速圓周運動的向心力由洛侖茲力提供，結合幾何關系其直徑恰為AC．可以求得粒子的初速度，再由題意結合幾何關系求出粒子在第四象限內做勻速圓周運動的半徑，由半徑公式可以求出第四象限內磁感應強度．
（2）在第三象限做勻減速直線運動粒子速度減半，由運動學公式求出加速度，從而就求出了第三象限的電場強度；粒子在第一象限做類平拋運動，由水平位移和豎直位移公式求出水平面方向的加速度，從而也求出了第一象限的電場強度．
（3）第一象限的時間可以從豎直方向的勻速直線運動位移除以速度得到，而第三象限由勻減速直線運動規(guī)律求出，均用題目所給的物理量表示，從而也就求出了在兩個象限的時間之比．

解答 解：（1）粒子在第二象限內運動正好完成半個圓周，則：$2{R}_{2}cos30°=OA=\sqrt{3}a$
  所以R₂=a  
  解得：${v}_{0}=\frac{Bqa}{m}$  
  粒子在第三象限中運動時有：CD=$2{R}_{2}tan30°=\frac{2\sqrt{3}}{3}a$
  粒子在第四象限中運動時有：${R}_{4}=CDtan30°=\frac{2}{3}a$
  而$q{B}_{1}{v}_{1}=\frac{m{{v}_{1}}^{2}}{{R}_{4}}$   ${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}$
  解得：${B}_{1}=\frac{3}{4}B$
（2）在第一象限內：水平位移 x₁=R₄+R₄sin30°=a 
豎直位移 ${y}_{1}=OA=\sqrt{3}a$
  由運動學規(guī)律有：${x}_{1}=\frac{1}{2}×\frac{q{E}_{1}}{m}×{{t}_{1}}^{2}$       
  y₁=v₁t₁
  解得 ${E}_{1}=\frac{{B}^{2}qa}{6m}\\;\\;\$  
${t}_{1}=\frac{2\sqrt{3}m}{Bq}$   
  在第三象限內：${{v}_{0}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2×\frac{q{E}_{2}}{m}×CD$    
  代入解得：${E}_{2}=\frac{3\sqrt{3}{B}^{2}qa}{16m}$
  （3）在第三象限內有：
  ${v}_{0}-{v}_{1}=\frac{q{E}_{2}}{m}×{t}_{3}$  
 解得t₃=$\frac{8\sqrt{3}m}{9Bq}$
  所以  $\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}$=$\frac{9}{4}$
答：（1）粒子的初速度v₀和$\frac{Bqa}{m}$第四象限內勻強磁場的磁感應強度$\frac{3}{4}B$．
（2）第一、三象限內勻強電場的電場強度分別為$\frac{{B}^{2}qa}{6m}$  和  $\frac{3\sqrt{3}{B}^{2}qa}{16m}$． 
（3）粒子在第一、三象限內運行的時間比為9：4．

點評 本題物理過程明顯，每一個過程用相應的規(guī)律寫出相關方程，再加上題設的條件，畫出運動軌跡，一般能得到正確結果．比較困難一點的是粒子在第四象限的圓周運動的圓心的確定，從初末速度的方向畫垂線，相交點就是圓心．當然本題還多次涉及到特殊直角三角形邊長關系，不能初心大意．