Question

4．如圖所示，豎直放置的光滑金屬導軌，兩軌間距為L，導軌足夠長．上端接有阻值為R的電阻，其它電阻忽略不計，整個裝置處于方向垂直導軌平面的勻強磁場中，磁感應強度為B．現使質量為m、電阻為r的金屬桿貼著導軌讓其從AB位靜止起下落，下落過程桿與導軌始終保持良好接觸，當桿下落到CD位置時桿開始做勻速運動．已知桿從AB位置到CD位置的過程中，電阻R產生的焦耳熱為Q，求：
（1）金屬桿做勻速運動的速度．
（2）位置AB到CD的高度差h．

Answer 1

分析 （1）金屬桿做勻速運動時安培力與重力二力平衡，由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式推導出安培力與速度的關系，再由平衡條件求出速度．
（2）根據能量守恒定律求解位置AB到CD的高度差h．

解答 解：（1）設金屬桿勻速運動的速度為v．
則金屬桿產生的感應電動勢：E=BLv
 感應電流 I=$\frac{E}{R+r}$
根據平衡條件得：mg=BIL
聯立解得 v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）桿從AB位置到CD位置的過程中，電阻R產生的焦耳熱為Q，則金屬桿產生的焦耳熱 Q′=$\frac{r}{R}Q$
根據能量守恒定律得
  mgh=Q+Q′+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 h=$\frac{（R+r）Q}{mgR}$+$\frac{{m}^{2}g（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$
答：
（1）金屬桿做勻速運動的速度是$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（2）位置AB到CD的高度差h是$\frac{（R+r）Q}{mgR}$+$\frac{{m}^{2}g（R+r）^{2}}{2{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題關鍵要正確分析導體棒的受力情況，熟練運用法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力公式，推導出安培力的表達式，再由平衡條件研究．