Question

7．如圖所示，厚度均勻、上表面為長方形的平板AA'B'B靜止在光滑水平面上，平板上OO'所在直線與AB平行，CC'所在直線與OO'垂直．平板上表面的AA'至CC'段是粗糙的，CC'至BB'段是光滑的．將一輕質彈簧沿OO'方向放置在平板上，其右端固定在平板BB'端的輕質擋板上，彈簧處于原長時其左端位于CC'線上．在t=0時刻，有一可視為質點的小物塊以初速度v₀從平板的AA'端沿OO'方向滑上平板，小物塊在平板上滑行0.2s后，從t₁時刻開始壓縮彈簧，又經過一段時間，在t₂時刻彈簧壓縮最短，此時彈簧的彈性勢能是8.1J．已知平板質量M=4.0kg，AA'與BB'之間的距離L₁=1.30m，小物塊的質量m=1.0kg，速度v₀=5m/s，小物塊與平板粗糙面之間的動摩擦因數μ=0.20，取重力加速度g=10m/s²，彈簧始終在彈性限度內，小物塊始終在OO'所在直線上．求：
（1）求彈簧的原長L；
（2）彈簧壓縮最短時，小物塊的速度的大小v；
（3）請在圖2中定性畫出0～t₂時間內木板的速度v隨時間t變化的圖象．（圖中t₁為小物塊開始壓縮彈簧的時刻；t₂為彈簧壓縮最短的時刻）．

Answer 1

分析 （1）設彈簧的原長為L．小物塊滑上平板后，在滑動摩擦力作用下，小物塊做勻減速運動，平板做勻加速運動，物塊剛壓縮彈簧時，兩者位移之差等于L₁-L，根據牛頓第二定律、位移時間公式和位移關系列式求解．
（2）當兩者的速度相等時，彈簧的彈性勢能達到最大，小物塊壓縮彈簧時，系統的合外力為零，系統的動量守恒，根據動量守恒定律求出物塊剛接觸彈簧時的速度．
（3）物塊先做勻減速運動，再做加速度增大的減速運動，分段畫出v-t圖象．

解答 解：（1）在0-t₁時間內，小物塊做勻減速直線運動，平板做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律得：
小物塊的加速度 a₁=$\frac{μmg}{m}$=μg=2m/s²；（方向向左）
平板的加速度 a₂=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.2×1×10}{4}$=0.5m/s²；（方向向右）
小物塊的位移 x₁=v₀t₁-$\frac{1}{2}$a₁t₁²．
平板的位移 x₂=$\frac{1}{2}$a₂t²．
設彈簧的原長為L，則 x₁-x₂=L₁-L；
聯立解得 L=0.35m
（2）小物塊剛接觸彈簧時：
小物塊的速度 v_塊=v₀-a₁t
平板的速度 v_板=a₂t
解得 v_塊=4.6m/s，v_板=0.1m/s
當兩者的速度相等時，彈簧的彈性勢能達到最大．取向右為正方向，根據動量守恒定律得：
   mv_塊+Mv_板=（M+m）v
解得 v=1m/s
（3）在0-t₂時間內，小物塊的速度v隨時間t變化的圖象2所示．
答：
（1）彈簧的原長L是0.35m；
（2）彈簧壓縮最短時，小物塊的速度的大小v是1m/s；
（3）在0-t₂時間內，小物塊的速度v隨時間t變化的圖象2所示．

點評 本題首先要理清物理過程，抓住物塊與平板位移關系，運用牛頓運動定律和運動學公式結合分析求解，也可以根據運動學公式和能量守恒定律結合求v．