Question

20．如圖所示，有一內表面光滑的金屬盒，底面長為L=1.2m，質量為m₁=1kg，放在水平面上，與水平面間的動摩擦因數為μ=0.2，在盒內最右端放一半徑為r=0.1m的光滑金屬球，質量為m₂=1kg，現在盒的左端，給盒一個初速度v=3m/s（盒壁厚度，球與盒發生碰撞的時間和能量損失均忽略不計，g取10m/s²）求：
（1）金屬盒從開始運動到與球第一次碰撞速度時的速度v₁
（2）金屬盒從開始運動到最后靜止所經歷的時間？

Answer 1

分析 （1）對金屬盒和小球組成的系統，根據動能定理列式，可求出金屬盒獲得的速度v₁；
（2）球與盒發生碰撞的時間和能量損失均忽略不計，即發生了彈性碰撞，根據動量守恒和機械能守恒可求出碰后兩者的速度，由于質量相等，每碰撞一次，兩者就會交換速度，逐次分析碰撞間隙盒前進的位移，分析能發生幾次碰撞，再根據動量定理求時間．

解答 解：（1）根據動能定理，則從開始運動到左壁與小球相碰有：
 $\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{1}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}^{2}$=-μ（m₁+m₂）（L-2r）
解得盒與球第一次碰撞速度 v₁=1m/s
（2）開始運動到與球第一次碰撞：t₁=$\frac{L-2r}{\frac{v+{v}_{1}}{2}}$=$\frac{1.2-0.2}{\frac{3+1}{2}}$s=0.5s
由于小球和盒子發生彈性碰撞，故碰撞完后交換速度，即小球速度為1m/s，盒子速度為零此后小球在盒內：
 t₂=$\frac{L-2r}{{v}_{1}}$=1s
小球與盒子再次相碰后，再次交換速度，盒子速度為1m/s，小球速度為零，則盒子運動的時間t₃滿足動量定理，取向右為正方向，則有：
-μ（m₁+m₂）gt₃=0-m₁v₁，
代入數據解得：t₃=0.25s
所經歷的時間為：t=t₁+t₂+t₃=1.75s    
答：（1）金屬盒從開始運動到與球第一次碰撞速度時的速度v₁是1m/s．
（2）金屬盒從開始運動到最后靜止所經歷的時間1.75s．

點評 解答本題的關鍵要知道碰撞過程中動量、機械能守恒，且m₁=m₂，碰撞時兩個物體會交換速度，求摩擦產生的內能時，要根據相對位移和摩擦力大小相乘．