Question

10．如圖，兩等量異號的點電荷相距為2a．M與兩點電荷共線，N位于兩點電荷連線的中垂線上，兩點電荷連線中點到M和N的距離都為L，且L＞＞a．略去${（\frac{a}{L}）}^{n}$（n≥2）項的貢獻，則兩點電荷的合電場在M和N點的強度（　�。�

• A． 方向相反
• B． 大小之比為2
• C． 大小均與a成正比
• D． 大小均與L的平方成反比

Answer 1

分析 先根據點電荷的場強公式E=$k\frac{q}{{r}_{\;}^{2}}$求解出兩電荷單獨存在時的場強，再根據平行四邊形定則求解出合場強，再運用近似條件比較．

解答 解：如圖，根據點電荷的場強公式E=$\frac{kq}{{r}_{\;}^{2}}$，運用平行四邊形定則，結合結幾何關系，M、N點的場強分別為：
M點的場強為：${E}_{M}^{\;}=k\frac{q}{（L-a）_{\;}^{2}}-k\frac{q}{（L+a）_{\;}^{2}}=\frac{4kLaq}{（L+a）_{\;}^{2}（L-a）_{\;}^{2}}$=$\frac{4kLaq}{（{L}_{\;}^{2}-{a}_{\;}^{2}）_{\;}^{2}}$
因為L＞＞a，$（{L}_{\;}^{2}-{a}_{\;}^{2}）_{\;}^{2}≈{L}_{\;}^{4}$
${E}_{M}^{\;}=\frac{4kLaq}{{L}_{\;}^{4}}=4\frac{kqa}{{L}_{\;}^{3}}$，方向水平向右
N點的場強是-q和+q在N點場強的矢量和為：
${E}_{N}^{\;}={E}_{-q}^{\;}•\frac{a}{\sqrt{{L}_{\;}^{2}+{a}_{\;}^{2}}}+{E}_{+q}^{\;}\frac{a}{\sqrt{{L}_{\;}^{2}+{a}_{\;}^{2}}}$=$k\frac{2q}{{（L}_{\;}^{2}+{a}_{\;}^{2}）_{\;}^{\frac{3}{2}}}$$≈2\frac{kqa}{{L}_{\;}^{3}}$，方向水平向左
A、M點合場強水平向右，N點合場強水平向左，方向相反，故A正確；
B、由上知$\frac{{E}_{M}^{\;}}{{E}_{N}^{\;}}=\frac{2}{1}$，故B正確；
C、由上述知，${E}_{M}^{\;}、{E}_{N}^{\;}$與a成正比，故C錯誤；
D、由上述知，${E}_{M}^{\;}、{E}_{N}^{\;}$與${L}_{\;}^{3}$成反比，故D錯誤；
故選：AB

點評 本題關鍵通過矢量合成求出M與N兩點的場強的一般表達式進行討論，要知道空間任意一點的場強是各個電荷產生的電場的疊加．