Question

5．如圖所示，A為靜止于地球赤道上的物體，B為繞地球做勻速圓周運動軌道半徑為r的衛星，C為繞地球沿橢圓軌道運動的衛星，長軸大小為a，P為B、C兩衛星軌道的交點，已知A、B、C繞地心運動的周期相同，下列說法正確的是（　　）

• A． 物體A的線速度大于衛星B的線速度
• B． 衛星B離地面的高度可以為任意值
• C． a與r長度關系滿足a=2r
• D． 若已知物體A的周期和萬有引力常量，可求出地球的平均密度

Answer 1

分析 抓住A、B的周期相等，根據v=$\frac{2πr}{T}$比較線速度的大小．根據衛星B的周期一定，根據萬有引力提供向心力確定出軌道半徑一定，高度一定．根據開普勒第三定律比較a與r的關系．根據萬有引力提供向心力，結合周期與軌道半徑求出地球的質量，根據密度公式判斷能否求出地球的平均密度．

解答 解：A、因為A、B繞地心運動的周期相同，根據v=$\frac{2πr}{T}$知，B的軌道半徑大于地球的半徑，則物體A的線速度小于衛星B的線速度，故A錯誤．
B、因為B的周期與地球的自轉周期相同，為定值，根據$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$知，r=$\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$，可知軌道半徑恒定，則衛星B離地的高度恒定，不是任意值，故B錯誤．
C、根據開普勒第三定律知，$\frac{{r}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=k$，因為周期相等，則橢圓的半長軸與圓軌道半徑相等，即$\frac{a}{2}=r$，故C正確．
D、因為A、B、C繞地心運動的周期相同，若A的周期已知設為T，則B的周期也為T，
對B：根據$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$知，地球的質量M=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，則地球的平均密度ρ=$\frac{M}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}$，因為地球的半徑未知，則無法求出地球的密度，故D錯誤．
故選：C．

點評 本題考查了萬有引力定律、開普勒定律與圓周運動的綜合，知道A做圓周運動，不是靠萬有引力提供向心力，抓住A、B的周期相等，結合線速度與周期的關系比較線速度大小．