Question

6．質量為m=0.5kg、長L=1m的平板車B靜止在光滑水平面上．某時刻質量M=1kg的物體A（視為質點）以v₀=4m/s向右的初速度滑上平板車B的上表面，在A滑上B的同時，給B施加一個水平向右的拉力F．已知A與B之間的動摩擦因數μ=0.2，重力加速度g取10m/s²．
（1）若F=5N，求從開始到二者共速所需時間，和該時間內A相對B滑行的距離；
（2）若F=5N，在同一坐標系內，定性畫出A在B上滑動全程二者的v-t圖線（無需計算數值，但必須在圖線上標明A、B物體，未標明的不得分）；
（3）如果要使A不至于從B上滑落，求拉力F大小應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）首先分析物體A和車的運動情況：A相對于地做勻減速運動，車相對于地做勻加速運動．開始階段，A的速度大于車的速度，則A相對于車向右滑行，當兩者速度相等后，A相對于車靜止，則當兩者速度相等時，物體A在小車上運動時相對小車滑行的最大距離．由牛頓第二定律和運動學公式結合，以及速度相等的條件，分別求出A與車相對于地的位移，兩者之差等于A在小車上運動時相對小車滑行的最大距離．
（2）A與B的速度相等后，A受到的摩擦力的方向變成向前，所以A也做加速運動，但小于B的加速度，由此畫出v-t圖象即可；
（3）要使A不從B上滑落，是指既不能從B的右端滑落，也不能左端滑落．物體A不從右端滑落的臨界條件是A到達B的右端時，A、B具有共同的速度，根據牛頓第二定律和運動學公式結合，以及速度相等的條件，可求出此時F，為F的最小值．物體A不從左端滑落的臨界條件是A到達B的左端時，A、B具有共同的速度，可求出此時F的最大值，綜合得到F的范圍．

解答 解：（1）物體A滑上平板車B以后，做勻減速直線運動：μN=Ma_A
又：N=Mg
得：a_A=μg=2 m/s²  
平板車B做勻加速直線運動，F+μN=ma_B
得：a_B=14 m/s²   
兩者速度相同時有：v₀-a_At=a_Bt  
解得t=0.25s  
對A：${s_A}={v_0}t-\frac{1}{2}{a_A}{t^2}=\frac{15}{16}m$
對B：${s_B}=\frac{1}{2}{a_B}{t^2}=\frac{7}{16}m$
相對運動距離：△s=s_A-s_B=0.5m
（2）由以上的分析可知，A與B的速度相等前，A做減速運動，B做加速運動；當它們的速度相等后，A的加速度小于B的加速度，所以它們運動的v-t圖象如圖：
（3）①當F較小時，物體A不滑落的臨界條件是A到達B右端時，AB具有共同的速度v，則s_A=s_B+L，即：
$\frac{{{v_0}+v}}{2}t'=\frac{v}{2}t'+L$
得t'=0.5s
所以：$v={v_0}-{a_A}t'=3m/{s^2}$
代入數據得：${a_B}=\frac{v}{t'}=6m/{s^2}$
又由F₁+μMg=ma_B得F₁=1 N
②當F較大時，在A到達B的右端之前，就與B具有相同的速度，之后，A必須相對B靜止，否則A會從B的左端滑落，則
對整體：F₂=（m+M）a   
對物體A：μN=Ma    
解得：F₂=3 N  
綜上所述，拉力F大小應滿足的條件是1 N≤F≤3 N
答：（1）若F=5N，從開始到二者共速所需時間是0.25s，和該時間內A相對B滑行的距離是0.5m；
（2）定性畫出A在B上滑動全程二者的v-t圖線如圖；
（3）如果要使A不至于從B上滑落，拉力F大小應滿足的條件是1 N≤F≤3 N．

點評 牛頓定律和運動公式結合是解決力學問題的基本方法，這類問題的基礎是分析物體的受力情況和運動情況，難點在于分析臨界狀態，挖掘隱含的臨界條件．