Question

如圖甲所示，建立Oxy坐標系，兩平行極板P、Q垂直于y軸且關于x軸對稱，極板長度和板間距為l，第一四象限有磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直于Oxy平面向里．在極板P上方沿y軸方向放置一熒光屏．位于極板左側的粒子源沿x軸向右連接發射質量為m、電量為+q、速度相同、重力不計的帶電粒子，在0--8t₀時間內兩板間加上如圖乙所示的電壓（不考慮極邊緣的影響）．已知t=0時刻進入兩板間的帶電粒子恰好在2t₀時刻經極板邊緣射入磁場．上述m、q、l、t₀、B為已知量．（不考慮粒子間相互影響及返回板間的情況）
（1）求粒子的初速度及電壓的大小；
（2）求

t0

2

時刻進入兩板間的帶電粒子在磁場中做圓周運動的半徑及時間；
（3）何時進入兩板間的帶電粒子打在熒光屏的位置最高，求此位置距上極板P的距離．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中做類平拋運動，結合垂直電場方向做勻速直線運動求出粒子的初速度，在0～2t₀時間內沿電場方向先做勻加速直線運動，再做勻速直線運動，抓住豎直位移等于

l

2

求出電壓的大小．
（2）根據粒子在磁場中靠洛倫茲力提供向心力，求出軌道半徑的大小，結合圓心角求出運動的時間．
（3）根據半徑公式，結合幾何關系求出粒子以不同夾角射入磁場時的偏移量，從而確定何時打在熒光屏上的位置最高，結合幾何關系求出此位置距上極板P的距離．

解答：解：（1）粒子在垂直電場方向上做勻速直線運動，則
粒子的初速度v0=

l

2t0

，
設粒子剛出極板間時豎直方向上的分速度為v_y，有

l

2

=

vy

2

t0+vyt0
則粒子在0～t₀時間內豎直方向上的偏移y=

vy

2

t0=

i

6

又y=

1

2

?

qU

ml

t02
解得U0=

ml2

3qt02

．
（2）

t0

2

時刻進入兩板間的帶電粒子，在

5

2

t0時刻離開極板．
其在y方向上的速度vy=

1

2

at0-

1

2

at0=0．
故粒子以v₀垂直與y軸方向進入磁場，
根據qv0B=m

v02

R

得，R=

mv0

qB

=

ml

2qBt0

．
運動的時間t=

T

2

=

πm

qB

．
（3）與x軸方向成α角進入磁場中帶電粒子的速度為v=

v0

cosα

．
其軌道半徑R=

mv

qB

經磁場偏轉后，再次經過y軸向上的偏移量△y=2Rcosα．
可解得△y=

ml

qBt0

，可見沿y軸向上的偏移量與進入磁場的方向無關．
根據對稱性知，在t=2t₀時刻進入極板間的粒子，在t=4t₀時刻經上極板的邊緣射入磁場，打在熒光屏上的位置最高．
距上極板P的距離△y=

ml

qBt0

．
答：（1）粒子的初速度為v0=

l

2t0

，電壓的大小為U0=

ml2

3qt02

．
（2）帶電粒子在磁場中運動的半徑為

ml

2qBt0

，時間為

πm

qB

．
（3）在t=2t₀時刻進入極板間的粒子，在t=4t₀時刻經上極板的邊緣射入磁場，打在熒光屏上的位置最高．距上極板P的距離△y=

ml

qBt0

．

點評：本題考查帶電粒子在勻強磁場和勻強電場中的運動，要掌握住半徑公式、周期公式，理清粒子的運動規律，找出規律，即能輕松求解．