Question

3．如圖所示，開中向上豎直放置的內壁光滑氣缸，其側壁是絕熱的，底部導熱，內有兩個質量均為m的密閉活塞，活塞A導熱，活塞B絕熱，將缸內理想氣體分成I、Ⅱ兩部分．初狀態整個裝置靜止不動處于平衡，I、Ⅱ兩部分氣體的長度均為l₀，溫度均為T₀．設外界大氣壓強p₀保持不變，活塞橫截面積為S，且mg=p₀S，環境溫度保持不變．求：
i．在活塞A上逐漸添加鐵砂，當鐵砂質量等于m時，兩活塞在某位置重新處于平衡，活塞B下降的高度；
ii．現只對Ⅱ氣體緩慢加熱，使活塞A回到初始位置，此時Ⅱ氣體的溫度．

Answer 1

分析 活塞A導熱且環境溫度保持不變，所以Ⅰ部分氣體為等溫變化，列式時列等溫變化方程．Ⅱ部分氣體的先做等溫變化，后加熱時溫度體積壓強均發生變化，列式時列理想氣體狀態方程．

解答 解：（1）初狀態Ⅰ氣體壓強：${p}_{1}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{mg}{S}$
因為：$mg={p}_{0}^{\;}S$
故${p}_{1}^{\;}=2{p}_{0}^{\;}$
Ⅱ氣體壓強：${p}_{2}^{\;}={p}_{0}^{\;}+\frac{2mg}{s}=3{p}_{0}^{\;}$
添加鐵砂后Ⅰ氣體壓強：${p}_{1}^{′}={p}_{0}^{\;}+\frac{2mg}{S}=3{p}_{0}^{\;}$
Ⅱ氣體壓強：${p}_{2}^{′}={p}_{1}^{′}+\frac{mg}{S}=4{p}_{0}^{\;}$
Ⅱ氣體等溫變化，根據玻意耳定律${p}_{2}^{\;}{l}_{0}^{\;}S={p}_{2}^{′}{l}_{2}^{\;}S$
可得：${l}_{2}^{\;}=\frac{{p}_{2}^{\;}{l}_{0}^{\;}}{{p}_{2}^{′}}=\frac{3}{4}{l}_{0}^{\;}$
B活塞下降的高度${h}_{2}^{\;}={l}_{0}^{\;}-{l}_{2}^{\;}=\frac{1}{4}{l}_{0}^{\;}$
（2）Ⅰ氣體等溫變化，根據玻意耳定律：${p}_{1}^{\;}{l}_{0}^{\;}S={p}_{1}^{′}{l}_{1}^{\;}S$
可得：${l}_{1}^{\;}=\frac{{p}_{1}^{\;}{l}_{0}^{\;}}{{p}_{1}^{′}}=\frac{2}{3}{l}_{0}^{\;}$
只對Ⅱ氣體加熱，I氣體狀態不變，所以當A活塞回到原來位置時，Ⅱ氣體高度：
${l}_{2}^{″}=2{l}_{0}^{\;}-\frac{2}{3}{l}_{0}^{\;}=\frac{4}{3}{l}_{0}^{\;}$
Ⅱ氣體壓強${p}_{2}^{″}={p}_{2}^{′}=4{p}_{0}^{\;}$
根據理想氣體狀態方程
$\frac{{p}_{2}^{\;}{l}_{0}^{\;}S}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{{p}_{2}^{″}{l}_{2}^{″}S}{{T}_{2}^{\;}}$
解得：${T}_{2}^{\;}=\frac{16}{9}{T}_{0}^{\;}$
答：i．在活塞A上逐漸添加鐵砂，當鐵砂質量等于m時，兩活塞在某位置重新處于平衡，活塞B下降的高度$\frac{1}{4}{l}_{0}^{\;}$；
ii．現只對Ⅱ氣體緩慢加熱，使活塞A回到初始位置，此時Ⅱ氣體的溫度$\frac{16}{9}{T}_{0}^{\;}$

點評 本題考察理想氣體狀態方程，找出初末狀態的狀態參量，列理想氣體狀態方程即可．