Question

8．如圖所示，空間存在磁感應強度為B=2T的勻強磁場．單砸矩形線框abcd繞ab為軸以角速度ω=20π弧度/秒逆時針轉動．已知ab=bc=20cm．線框回路總電阻為R=2Ω．求：
（1）由圖示位置開始計時，寫出回路磁通量Φ隨時間的變化規律．
（2）由圖示位置開始計時，計算△t=$\frac{1}{24}$s內通過線框截面的電荷量．
（3）由圖示位置開始計時，計算t=$\frac{1}{24}$s時刻 cd兩端電壓的大小．
（4）計算回路消耗的電功率．

Answer 1

分析 （1）先求得穿過線圈的最大磁通量，根據轉動位置即可求得磁通量變化與時間的關系；
（2）根據楞次定律求得平均感應電動勢，有q=I△t求得電荷量；
（3）有E=NBSω求得最大感應電動勢，表示出瞬時感應電動勢，代入時間求得瞬時感應電動勢，有歐姆定律求得cd間電壓；
（4）求得回路中的有效電壓，有P=$\frac{{U}^{2}}{R}$求得

解答 解：（1）穿過線圈的磁通量的最大值為∅_m=BS=2×0.2×0.2Wb=0.08Wb，故磁通量隨時間的變化率為∅=∅_mcosωt=0.08cos20πt
（2）△t=$\frac{1}{24}$s內磁通量的變化量$△∅=（\frac{\sqrt{3}}{2}+1）BS$，產生的感應電動勢的平均值$\overline{E}=BSω$，形成的感應電流$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，故流過的電荷量$q=\overline{I}•△t$，聯立解得q=$\frac{\sqrt{3}}{50}+\frac{1}{25}$C
（3）產生的感應電動勢的最大值E_m=BSω=2×0.2×0.2×20πV=1.6πV，產生達的感應電動勢的瞬時表達式e=1.6πsin20πt（V）
t=$\frac{1}{24}$s時刻產生的感應電動勢的電壓e=$1.6πsin20π×\frac{1}{24}V=0.8πV$，cd兩端的電壓e=$\frac{3}{4}e=0.6πV$，
（4）產生的感應電動勢的有效值$E=\frac{{E}_{m}}{\sqrt{2}}=\frac{1.6π}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}π}{5}$V，消耗的功率P=$\frac{{E}^{2}}{R}=\frac{16{π}^{2}}{25}W$
答：（1）由圖示位置開始計時，回路磁通量Φ隨時間的變化規律為∅=0.08cos20πt（Wb）．
（2）由圖示位置開始計時，計算△t=$\frac{1}{24}$s內通過線框截面的電荷量為$\frac{\sqrt{3}}{50}+\frac{1}{25}$C．
（3）由圖示位置開始計時，計算t=$\frac{1}{24}$s時刻 cd兩端電壓的大小為0.6πV．
（4）計算回路消耗的電功率為$\frac{16{π}^{2}}{25}$W．

點評 本題關鍵記住最大值公式E_m=nBsω和瞬時值公式e=E_msinωt，然后結合閉合電路歐姆定律與熱功率求解，注意熱功率與電表示數使用交流電的有效值，而電量卻是使用平均值．