Question

4．如圖所示，在傾角θ=37°的粗糙斜面上距離斜面底端s=1m處有一質量m=1kg的物塊，受力如圖所示，在傾角θ=37°的粗糙斜面上距離斜面底端s=1m處有一質量m=1kg的物塊，受水平恒力F作用由靜止開始沿斜面下滑．到達底端時即撤去水平恒力F，然后在水平面上滑動一段距離后停止．不計物塊撞擊水平面時的能量損失．物塊與各接觸面之間的動摩擦因數均為μ=0.2，g=10m/s²．求：
（1）若物塊運動過程中最大速度為2m/s，水平恒力 F的大小為多少？
（2）若改變水平恒力F的大小，可使物塊總的運動時間有一最小值，最小值為多少？（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）物體在斜面上到達斜面底端時的速度最大為2m/s，由運動學公式求出加速度，由牛頓第二定律求的力F；
（2）利用運動學公式求出在斜面上和在水平面上的時間，由數學知識求的最小時間．

解答 解：（1）物塊到達斜面底端時速度最大，有：
v²=2as
代入數據得：a=2 m/s²
對斜面上物塊受力分析，沿斜面方向上有：
mgsinθ-F cosθ-μ（mgcosθ+Fsinθ）=ma
代入數據解得：F=2.6N；         
（2）設斜面上物塊加速度為a，運動時間為t₁，在水平面上運動時間為t₂
則$s=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}$
到達底端時速度為$v=\sqrt{2as}=μg{t}_{2}$
則總時間為 $t={t}_{1}+{t}_{2}=\sqrt{\frac{2s}{a}}+\frac{\sqrt{2as}}{μg}$
根據基本不等式，當a=μg=2m/s²時有t最小值，t_min=2s
答：（1）若物塊運動過程中最大速度為2m/s，水平恒力 F的大小為2.6N
（2）若改變水平恒力F的大小，可使物塊總的運動時間有一最小值，最小值為2s．

點評 解決本題的關鍵能夠正確地受力分析，運用牛頓第二定律和運動學公式以及動能定理求解，知道加速度是聯系力學和運動學的橋梁．