Question

2．隨著科技的發展，可以對宇宙中越來越多的星體進行研究，質量為1kg的探測器，在距某星球球心4.0×10⁵km處繞其做勻速圓周運動，周期為2.0×10⁵s，已知地球半徑為6.4×10⁸km，表面重力加速度g=9.8m/s²，則該星球的質量與地球的質量之比約為（　　）

• A． 10²
• B． 10⁵
• C． 10⁴
• D． 10⁸

Answer 1

分析 探測器繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力求星球質量；地球表面物體重力等于萬有引力求出地球質量，最后求兩者的比值．

解答 解：探測器繞星球做勻速圓周運動，根據萬有引力提供向心力有：
$G\frac{{M}_{星}^{\;}m}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
解得星球質量${M}_{星}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
地球表面物體質量等于萬有引力mg=$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$
$\frac{{M}_{星}^{\;}}{M}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}}$=$\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{\;}^{3}}{g{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}$=$\frac{4×10×（4.0×1{0}_{\;}^{8}）_{\;}^{3}}{9.8×（2.0×1{0}_{\;}^{5}）_{\;}^{2}×（6.4×1{0}_{\;}^{11}）_{\;}^{2}}$=$1{0}_{\;}^{2}$
故選：A

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．