Question

如圖為光滑且處于同一豎直平面內兩條軌道，其中ABC的末端水平，DEF是半徑為r=0.4m的半圓形軌道，其直徑DF沿豎直方向，C、D可看作重合．現有一質量m=0.1kg可視為質點的小球從軌道ABC上距C點高為H的地方由靜止釋放（取g=10m/s²）．
（1）若要使小球經C處水平進入軌道DEF且能沿軌道運動，H至少要有多高？
（2）若小球靜止釋放處離C點的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點，求h．
（3）若小球自H=0.3m處靜止釋放，求小球到達F點對軌道的壓力大小．

Answer 1

分析：小球從ABC軌道下滑，機械能守恒，設到達C點時的速度大小為υ．小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤

mv2

r

，聯立即可求解H；
小球恰好擊中與圓心等高的E點，根據平拋運動的特點求出D點速度，再根據機械能守恒定律即可求解H的高度．
根據機械能守恒定律求出到達F點的速度，再根據向心力公式即可求解壓力．

解答：解：（1）要使小球能沿圓軌道運動，在圓周最高點必須滿足：mg≤

mv2

r

故小球在D點的速度至少為v=

gr

；        
A到D能量守恒：mgH=

1

2

mv2
解得：H=0.2m．                
（2）小球在D點作平拋運動，設小球在D點的速度為v_D
則：x=v_Dt=r     
y=

1

2

gt2=r
A到D能量守恒：mgh=

1

2

m

v

2 D

，
由以上各式可得：h=0.1m．       
（3）小球從A到F能量守恒：mg（H+2r）=

1

2

m

v

2 F

由向心力公式：N_F-mg=

m v 2 F

r

 解得：N_F=6.5N    
由牛頓第三定律可知：球在F點對軌道的壓力大小為N'_F=6.5N．
答：（1）H至少要有0.2m；                
（2）若小球靜止釋放處離C點的高度h小于（1）中H的最小值，小球可擊中與圓心等高的E點，h為0.1m．
（3）若小球自H=0.3m處靜止釋放，小球到達F點對軌道的壓力大小為6.5N．

點評：本題是圓周運動結合平拋運動的題型，要知道小球能在豎直平面內做圓周運動，在圓周最高點必須滿足mg≤

mv2

r

，若不滿足，則小球做平拋運動，難度適中．