Question

（2009?崇明縣模擬）如圖，光滑且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌MN、PQ固定在同一水平面上，兩導(dǎo)軌間距L=0.2m，電阻R=0.4Ω，導(dǎo)軌上停放著一質(zhì)量m=0.1kg、電阻r=0.1Ω的金屬桿CD，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)裝置處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.5T的勻強(qiáng)磁場中，磁場方向豎直向下．現(xiàn)用一在導(dǎo)軌平面內(nèi)，且垂直于金屬桿CD的外力F，沿水平方向拉桿，使之由靜止開始做加速度為a=5m/s²的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，試：

（1）推導(dǎo)出電壓表的示數(shù)隨時(shí)間變化的關(guān)系式，并在圖中畫出電壓表的示數(shù)U隨時(shí)間t變化的圖象．
（2）推導(dǎo)外力F隨時(shí)間t的變化變化關(guān)系．
（3）推導(dǎo)外力F的功率隨時(shí)間t如何變化，并求出第2s末時(shí)外力F的瞬時(shí)功率P．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)E=BLv、I=

E

R+r

、U=IR及v=at得到電阻R兩端的電壓U與速度v的關(guān)系式，由圖象得到U與t成正比，u=kt，求出k，即可得到U的表達(dá)式．
（2）安培力f=BIL=

B2L2v

R+r

，根據(jù)牛頓第二定律求解外力的表達(dá)式．
（3）由加速度求出2s末金屬桿的速度，由F=BIL求出安培力，根據(jù)牛頓第二定律求解外力的大小，由P=Fv求出外力的功率．

解答：解：（1）t時(shí)刻金屬桿CD的速度 v=at

電壓表示數(shù)為U=IR=

BLR

R+r

v
則得 U=

BLR

R+r

at
由圖得：U=kt，聯(lián)立則得k=0.4 V/s
所以U=0.4 t（V）．如圖 
（2）桿所受的安培力 f=BIL=

B2L2v

R+r

，根據(jù)牛頓第二定律得
   F-f=ma
代入得 F=

B2L2v

R+r

+ma=

B2L2

R+r

at+ma=k′t+ma，
解得，k′=0.1 N/s，
故外力F隨時(shí)間t的變化關(guān)系式 F=0.1 t+0.5（N）
（3）外力F的瞬時(shí)功率P=Fv
P=（k′t+ma）at=0.5 t²+2.5 t（W）
可見F的瞬時(shí)功率與時(shí)間成二次函數(shù)關(guān)系，
第2s末得到：P=7 W
答：
（1）電壓表的示數(shù)隨時(shí)間變化的關(guān)系式為U=0.4 t（V）．在圖中畫出電壓表的示數(shù)U隨時(shí)間t變化的圖象如圖．
（2）外力F隨時(shí)間t的變化變化關(guān)系為F=0.1 t+0.5（N）．
（3）外力F的功率隨時(shí)間t的關(guān)系為P=0.5 t²+2.5 t（W），第2s末時(shí)外力F的瞬時(shí)功率P是7W．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵根據(jù)物理規(guī)律得到三個(gè)表達(dá)式，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)處理物理問題的能力，其中安培力的推導(dǎo)和計(jì)算是關(guān)鍵．