Question

15．在如圖所示的豎直平面直角坐標系xOy中，虛線OM與x軸成45°角．在OM與x軸之間（包括x軸）的區域存在垂直于坐標平面向里、磁感應強度大小為B的勻強磁場．在OM與y軸之間（包括y軸）的區域，存在沿y軸負方向的勻強電場（但電場強度大小未知）．有一個質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，以速度v沿x軸正方向從坐標原點O射入磁場區域并發生偏轉，不計帶電粒子的重力和空氣阻力，粒子第二次進入電場后恰好運動到O點并從此離開電場和磁場．求：
（1）帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離．
（2）粒子從最初由O點進入磁場到恰好經過O點并離開電場和磁場的總時間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子進入磁場中，受到洛倫茲力做勻速圓周運動，由牛頓第二定律和向心力公式求出粒子的軌跡半徑，畫出軌跡，由幾何知識求粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離；
（2）分析清楚粒子運動過程，求出粒子在電場與磁場中的運動時間，然后求出總的運動時間．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，設粒子做圓周運動的半徑為r，
根據牛頓第二定律有：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{qB}$，
設帶電粒子第一次離開磁場的位置為N點，如圖所示：

由幾何知識可知，帶電粒子第一次離開磁場時速度方向沿y軸正方向，
該位置N到O點的距離為：NO=$\sqrt{2}$r=$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$；
（2）設粒子在磁場中運動的周期：T$\frac{2πm}{qB}$，則：v=$\frac{2πr}{T}$，
粒子第一次在磁場中運動的時間t₁恰好為$\frac{1}{4}$周期，t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$，
粒子第一次離開磁場后恰好沿y軸正方向第一次進入電場，且在電場中先沿y軸正方向做勻減速直線運動，
再沿y軸負方向從靜止做勻加速直線運動并經過OM再次進入磁場，粒子第一次在電場中運動的兩過程對稱，
設粒子在電場中運動的加速度大小為a，則粒子來回一次的時間為：t₂=$\frac{2v}{a}$，
粒子第二次進入磁場后再以速度v做勻速圓周運動，所經過的時間為：t₃=$\frac{3}{4}$T=$\frac{3πm}{2qB}$，
粒子第二次離開磁場后恰好沿x軸負方向第二次進入電場并做類平拋運動，
粒子第二次在電場中運動后恰好進過O點．設粒子第二次在電場中運動的時間為t₄，
則：2r=vt₄，2r=$\frac{1}{2}$at₄²，
解得：t₂=$\frac{2m}{qB}$，t₄=$\frac{2m}{qB}$，
綜合以上結果，可得粒子從最初由O點進入磁場到恰好經過O點離開電場和磁場的總時間為：t=t₁+t₂+t₃+t₄=$\frac{2（2+π）m}{qB}$；
答：（1）帶電粒子第一次離開磁場的位置到O點的距離為$\frac{\sqrt{2}mv}{qB}$．
（2）粒子從最初由O點進入磁場到恰好經過O點并離開電場和磁場的總時間為$\frac{2（2+π）m}{qB}$．

點評 本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，分析清楚粒子運動過程、畫出粒子運動軌跡是解題的關鍵；應用牛頓第二定律、運動學公式可以解題，解題時注意幾何知識的應用．