Question

4．如圖所示，水平桌面上一輕彈簧的左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點．水平桌面右側有一豎直放置的半徑R=0.5m的光滑半圓軌道MN，其中MN為其直徑，與地面垂直．現用一質量m=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊向右運動，過B點后物塊的位移與時間滿足關系式x=7t-2t²（x的單位為m，t的單位為s）．物塊進入光滑圓軌道后，恰好能從M點飛出．g=10m/s²，求：
（1）B、N間的距離．
（2）在N點，物塊對軌道的壓力．
（3）物塊離開M點后落至地面時與N點的距離．

Answer 1

分析 （1）根據M點的臨界條件即可求得物塊在M點的速度，再對NM過程由機械能守恒定律可求得N點的速度，再對BN過程分析，根據運動學公式可求得BN間的距離；
（2）在N點由向心力公式即可求得物塊受到的支持力，再由牛頓第三定律可求得物塊對N點的壓力；
（3）物塊由M點水平飛出后做平拋運動，根據平拋運動規律可求得落地點的距離．

解答 解：（1）物塊恰好從M點飛出，則物塊的重力恰好完全提供向心力，設其速度為v_M，則：
mg=m$\frac{{{v}_{M}}^{2}}{R}$
物塊從N到M，由機械能守恒定律，得：$\frac{1}{2}$mv_M²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_N²
解得：v_N=5m/s
對于物塊m在B、N段做勻減速運動，由x=7t-2t²知初速度v₀=7m/s，a=-4m/s²　
由v_N²-v₀²=-2ax得
 x=3m．　
（2）在N點，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$　
解得F_N=12N　
由牛頓第三定律得物塊對N點的壓力是12N，方向豎直向下．　
（3）物塊由M點水平飛出后，以初速v_M做平拋運動
水平方向：x_N=v_Mt　
豎直方向：y=2R=gt²　
代入數據解得x_N=1m．　
答：（1）B、N間的距離為3m；
（2）在N點，物塊對軌道的壓力為12N；
（3）物塊離開M點后落至地面時與N點的距離為1m．

點評 該題涉及到多個運動過程，主要考查了機械能守恒定律、平拋運動基本公式、圓周運動向心力公式的應用以及勻變速直線運動的基本規律，用到的知識點及公式較多，要注意正確分析物理過程以及受力情況，然后再選擇正確的物理規律求解即可．