Question

11．如圖所示，兩個足夠長的等高臺階之間是水平地面，地面長度d=16m，在地面上緊靠左側臺階放著質量M=1kg的木板，木板長l=$\frac{32}{3}$m，上表面與臺階面齊平．右側臺階上固定著一個傾角θ=37°的斜面，斜面末端與臺階面平滑連接，一質量為m=2kg的貨物（可視為質點）以初速度v₀=12m/s從距左側臺階邊緣P點x₀=$\frac{8}{3}$m處開始向右運動，離開臺階后隨即沖上木板，到達右側臺階邊緣Q點立即沖上斜面，木板一旦與臺階碰撞就會立即停下（不與臺階粘連），貨物與臺階、木板之間的動摩擦因數μ₁=0.3，與斜面之間的動摩擦因數μ₂=0.25，木板與地面之間的動摩擦因數μ₃=0.1，g取10m/s²，求：
（1）貨物沖上木板時，貨物和木板的加速度．
（2）貨物沿斜面上滑的最大距離．
（3）貨物最終停止的位置到P點的距離．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定 律分別求貨物和木板的加速度．
（2）對貨物在左側臺階上運動的過程，由運動學公式規律求貨物到達P點的速度．沿斜面上滑的最大距離．
（3）貨物沿斜面下滑的過程，由牛頓第二定律求出加速度，由運動學公式求滑貨物滑到斜面底端時的速度．貨物沖上木板后，由速度公式求出達到共同速度經過的時間，并求出木板前進的位移，從而得到貨物最終停止的位置到P點的距離．

解答 解：（1）對貨物而言，由牛頓第二定律得：
f₁=μ₁mg=ma₁，
解得：a₁=μ₁g=0.3×10=3m/s²；
對木板而言有：f₁-μ₃（M+m）g=Ma₂，
代入數據解得：a₂=3m/s²；
（2）對貨物，在左側臺階上運動，加速度也等于a₁，由運動學公式規律有：
${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$=2（-a₁）x₀；
代入數據解得：v₁=8$\sqrt{2}$m/s
沖上木板后，假設能一直減速到Q點，由運動學公式有：
${v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}$=2（-a₁）d；
代入數據解得：v₂=4$\sqrt{2}$m/s
對木板，由運動學規律有：
${v}_{2}^{′2}$-0=2a₂（d-l）；
代入數據解得：v₂′=4$\sqrt{2}$m/s
說明貨物剛好沖到板的右端達到共同速度且抵達了右側臺階Q點．
沿斜面上滑過程，由牛頓第二定律有：
μ₂mgcosθ+mgsinθ=ma₃；
代入數據解得：a₃=8m/s²；
設貨物能沿斜面上滑的最大距離為x，由運動學規律有：
0-${v}_{2}^{2}$=2（-a₃）x
代入數據解得：x=2m
（3）沒斜面下滑過程，由牛頓第二定律有：
mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₄；
代入數據解得：a₄=4m/s²；
由運動學公式有：${v}_{3}^{2}$-0=2a₄x
代入數據解得：v₃=4m/s；
沖上木板后，達到共同速度為：
v_共=v₃-a₁t=a₂t
代入數據解得：t=$\frac{2}{3}$s，v_共=2m/s
貨物前進的位移為：x′=$\frac{{v}_{3}+{v}_{共}}{2}t$=2m
達到共同速度后一起勻減速運動，由牛頓第二定律有：
μ₃（M+m）g=（M+m）a₅；
代入數據解得：a₅=1m/s²；
設貨物和木板一起減速的位移為x″，由運動學公式有：
0-${v}_{共}^{2}$=2（-a₅）x″
代入數據解得：x″=2m
故貨物最終停止的位置到P點的距離為：
△x=d-x′-x″=16-2-2=12m
答：（1）貨物沖上木板時，貨物和木板的加速度均為3m/s²；
（2）貨物沿斜面上滑的最大距離是2m．
（3）貨物最終停止的位置到P點的距離是12m．

點評 本題是一道力學綜合題，分析清楚物體運動過程是正確解題的關鍵，應用牛頓第二定律和運動學公式分步研究，邊計算邊分析貨物的運動情況，分析還要抓住臨界狀態：貨物與木板共速的情況．