Question

5．如圖所示，O′B以O為圓心半徑為R的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，與水平軌道相切與O′，AB是半徑為$\frac{R}{2}$的$\frac{1}{4}$光滑圓弧軌道，過A點的切線水平，一質量為m的小物塊緊靠一根壓縮的彈簧（彈簧固定在水平軌道的最右端），此時小物塊與O′的距離為L，與水平軌道間的動摩擦因數為μ．現突然釋放小物塊，小物塊被彈出后，恰好能夠到達圓弧軌道的最高點A，取g=10m/s²，求：
（1）小物塊的落點距A的水平距離d；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能E_p．

Answer 1

分析 （1）小物塊恰好能夠到達圓弧軌道的最高點A時，由重力提供向心力，列式可求出小物塊通過A點的速度大小，再根據平拋運動的知識求出水平位移，即可得到小物塊的落點距A的水平距離d；
（2）從小物塊被彈簧彈出到運動到A點的過程，彈簧原來具有的彈性勢能轉化為小物塊的機械能和系統的內能，根據能量守恒定律求解．

解答 解：（1）設小物塊到達圓弧軌道的最高點A時速度大小為v_A，因為小物塊恰好能到達A點，故向心力剛好由重力提供，有：
mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{R}{2}}$
解得：v_A=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
小物塊由A射出后做平拋運動，由平拋運動的規律得：
豎直方向有：$\frac{3}{2}$R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向有：d=v_At
聯立解得：d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$R，
即小物塊的落點距O′的距離d為$\frac{\sqrt{6}}{2}$R．
（2）從小物塊被彈簧彈出到運動到A點的過程，小物塊動能增加量為：△E_k=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{4}$mgR
重力勢能增加量為：△E_pG=mg•$\frac{3}{2}$R=$\frac{3}{2}$mgR
摩擦所產生的內能為：Q=μmgL
由能量守恒定律可得物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能為：
E_p=△E_k+△E_pG+Q=$\frac{7}{4}$mgR+μmgL
答：（1）小物塊的落點距A的水平距離d是$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）小物塊釋放前彈簧具有的彈性勢能E_p是$\frac{7}{4}$mgR+μmgL．

點評 本題是圓周運動、平拋運動與機械能守恒定律和動能定理的綜合應用，關鍵分析物塊在最高點A時向心力的來源，判斷能量如何轉化．要注意圓形軌道半徑是變化的．