Question

如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點O裝在光滑的水平轉動軸上，桿和球在豎直面內轉動，已知球B運動到最高點時，球B對桿恰好無作用力．求：
（1）球B在最高點時，桿對水平軸的作用力大小；
（2）球B轉到最低點時，球A和球B對桿的作用力分別是多大？方向如何？

Answer 1

分析：（1）抓住B球在最高點對桿子的作用力為零，結合牛頓第二定律求出B球的速度，根據A、B角速度相等，得出A、B的關系，從而對A分析，根據牛頓第二定律求出桿子對A的作用力大小，得出桿對水平軸的作用力大小．
（2）根據系統機械能守恒定律得出A、B的速度，結合牛頓第二定律求出作用力的大小和方向．

解答：解：（1）球B在最高點時的速度為v₀，有mg=m

v02

2l

，
解得v0=

2gl

．
因為A、B兩球的角速度相等，根據v=rω知，此處球A的速度為

1

2

v0=

1

2

2gl

．
根據牛頓第二定律得，FA-mg=m

( v0 2 )2

l

，
解得F_A=1.5mg．
A對桿的作用力為1.5mg．
水平軸對桿的作用力與A球對桿的作用力平衡，所以F=1.5mg．
（2）根據系統機械能守恒定律得，mg?2l=

1

2

mvB2+

1

2

mvA2-

1

2

mv02-

1

2

m(

v0

2

)2
又v_B=2v_A
解得v_A=

13gl 10

，則vB=

26gl 5

根據牛頓第二定律得，對A，FA′+mg=m

vA2

L

，
解得FA′=

3

10

mg，方向向下．
所以球A對桿的作用力大小為

3

10

mg，方向向上．
對B，FB′-mg=m

vB2

2l

，
解得FB′=

18mg

5

，方向向上．
所以球B對桿的作用力大小為

18mg

5

，方向向下．
答：（1）球B在最高點時，桿對水平軸的作用力大小為1.5mg．
（2）球A對桿的作用力大小為

3

10

mg，方向向上，球B對桿的作用力大小為

18mg

5

，方向向下．

點評：本題中兩個球組成的系統內部動能與重力勢能相互轉化，機械能守恒，同時兩球角速度相等，線速度之比等于轉動半徑之比，根據機械能守恒定律和牛頓第二定律聯立列式求解．