Question

如圖所示，輕桿長2l，中點裝在水平軸O點，兩端分別固定著小球A和B，A球質量為m，B球質量為2m，兩者一起在豎直平面內繞O軸做圓周運動．
（1）若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，求此時桿對B球的拉力的大小；
（2）若B球到最高點時的速度等于第（1）小題中A球到達最高點時的速度，則B球運動到最高點時，O軸的受力大小和方向又將如何？
（3）在桿的轉速逐漸變化的過程中，能否出現O軸不受力的情況？若不能，請說明理由；若能，則求出此時A、B球的速度大小．

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律求出小球在最高點的速度，A、B兩球由于半徑相等，角速度相等，可知線速度大小相等．再根據牛頓第二定律求出桿子對B球的拉力大小．
（2）根據牛頓第二定律求出B球在最高點時桿子的彈力，再根據牛頓第二定律求出桿子對A球的作用力，從而確定O軸的受力大小和方向．
（3）因為B的質量大于A的質量，只有B球在最高點時，且做圓周運動出現O軸不受力，此時桿子對A、B兩球均表現為拉力，根據拉力相等求出A、B的速度．

解答：解：（1）若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，僅由重力提供向心力．則根據牛頓第二定律得：
  對A有：mg=

v2

l

，
解得：v=

gl

．
  對B有F-2mg=2m

v2

l

，
解得：F=4mg
即此時桿對B球的拉力的大小為4mg．
（2）B在最高點時，對B有：
  2mg+T′_OB=2m

v2

l

，
將v=

gl

代入，可得：T′_OB=0；
對A有：T′_OA-mg=m

v2

l

，得：T′_OA=2mg．
桿子對A球表現為拉力，則桿子對O軸表現為拉力，大小為2mg，方向豎直向下．
（3）要使O軸不受力，根據B的質量大于A的質量，可判斷B球應在最高點．
 對B有：T′′_OB+2mg=2m

v′2

l

 對A有：T′′OA-mg=m

v′2

l

．
軸O不受力時，T′′OA=T′′OB，可得：v′=

3gl

．
答：
（1）若A球在最高點時，桿A端恰好不受力，此時O軸受到彈力大小為4mg，方向豎直向下．
（2）B球運動到最高點時，O軸的受力大小為2mg，方向豎直向下．
（3）能，此時A、B的速度大小各是

3gl

．

點評：解決本題的關鍵搞清小球做圓周運動向心力的來源，再運用牛頓第二定律進行求解．