Question

如圖所示，輕桿長(zhǎng)2l，中點(diǎn)裝在水平軸O點(diǎn)，兩端分別固定著小球A和B，A球質(zhì)量為m，B球
的質(zhì)量為2m，兩者一起在豎直平面內(nèi)繞轉(zhuǎn)軸做圓周運(yùn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O點(diǎn)處無摩擦．
（1）若A球在最高點(diǎn)時(shí)，桿A端恰好不受力，此時(shí)O軸受到彈力大小和方向如何？
（2）若B球到最高點(diǎn)時(shí)的速度大小等于第（1）問中A球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度，則B球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，O軸的受力大小和方向又如何？
（3）在桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，能否出現(xiàn)O軸不受力的情況？通過計(jì)算說明．若能，求出此時(shí)A、B的速度大小各是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點(diǎn)的速度，A、B兩球由于半徑相等，角速度相等，所以線速度大小相等，根據(jù)牛頓第二定律求出桿子對(duì)B球的作用力，從而得出O軸受到的彈力大小和方向．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出B球在最高點(diǎn)時(shí)桿子的彈力，再根據(jù)牛頓第二定律求出桿子對(duì)A球的作用力，從而確定O軸的受力大小和方向．
（3）因?yàn)锽的質(zhì)量大于A的質(zhì)量，只有B球在最高點(diǎn)時(shí)，且做圓周運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)O軸不受力，此時(shí)桿子對(duì)A、B兩球均表現(xiàn)為拉力，根據(jù)拉力相等求出A、B的速度．

解答：解：（1）若A球在最高點(diǎn)時(shí)，桿A端恰好不受力．
對(duì)A有：mg=m

v2

L

，解得v=

gL

．
對(duì)B有；F-2mg=2m

v2

L

，解得F=4mg．
桿子對(duì)B球表現(xiàn)為拉力，則桿子對(duì)O軸表現(xiàn)為拉力，方向豎直向下，大小為4mg．
（2）B在最高點(diǎn)時(shí)，對(duì)B有2mg+T′_OB=2m

v2

L

，代入（1）中的v，可得T′_OB=0；
對(duì)A有T′_OA-mg=m

v2

L

，T′_OA=2mg．
桿子對(duì)A球表現(xiàn)為拉力，則桿子對(duì)O軸表現(xiàn)為拉力，大小為2mg，方向豎直向下．
（3）要使O軸不受力，根據(jù)B的質(zhì)量大于A的質(zhì)量，可判斷B球應(yīng)在最高點(diǎn)．
對(duì)B有T′′_OB+2mg=2m

v′2

L

，對(duì)A有T′′OA-mg=m

v′2

L

．
軸O不受力時(shí)，T′′OA=T′′OB，可得v′=

3gL

．
答：（1）若A球在最高點(diǎn)時(shí)，桿A端恰好不受力，此時(shí)O軸受到彈力大小為4mg，方向豎直向下．
（2）B球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，O軸的受力大小為2mg，方向豎直向下．
（3）能，此時(shí)A、B的速度大小各是

3gL

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵搞清小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．