Question

8．如圖所示，兩個可導熱的氣缸豎直放置，它們的底部是由細管連通（忽略細管的容積）．兩氣缸各有一個活塞，質量分別為m₁和m₂，（已知m₁=3m，m₂=2m）．活塞與氣缸無摩擦．活塞的下方為理想氣體，上方為真空．當氣體處于平衡狀態時，兩活塞位于同一高度h，在兩活塞上面各放一個質量為m的物塊，氣體再次達到平衡后兩活塞的高度差為（環境溫度保持不變）$\frac{5}{4}h$．在達到上一問的終態后，環境溫度由T₀緩慢升高到T，在這個過程中，氣體對活塞做功為$5mgh（\frac{T}{{T}_{0}^{\;}}-1）$（假定在氣體狀態變化過程中，兩物塊均不會碰到氣缸頂部）．

Answer 1

分析 （1）不加物體時，兩側等高，說明活塞產生的壓強相等；在兩活塞上同時各放一質量為m的物塊后，氣體全部在左側汽缸中，先求解出氣壓，然后根據玻意耳定律列式求解；
（2）等壓膨脹過程，先根據蓋-呂薩克定律列式求解末狀態體積，然后求解氣體對活塞做多少功

解答 解：（1）設左、右活塞的面積分別為A′和A，由于氣體處于平衡狀態，故兩活塞對氣體的壓強相等，
即$\frac{3mg}{A′}=\frac{2mg}{A}$
由此得$A′=\frac{3}{2}A$
在兩個活塞上各加一質量為m的物塊后，右邊物體對活塞產生的壓強較大，所以氣體向左氣缸移動，最終右活塞降至氣缸底部，所有氣體都在左氣缸中．
在初態，氣體的壓強為$\frac{2mg}{A}$，體積為$\frac{5}{2}Ah$；在末態，氣體壓強為$\frac{8mg}{3A}$，體積為$\frac{3}{2}Ax$（x為左活塞的高度）．由玻意耳定律得：
$\frac{2mg}{A}•\frac{5}{2}Ah=\frac{8mg}{3A}•\frac{3}{2}Ax$
解得：$x=\frac{5}{4}h$，即兩活塞的高度差為$\frac{5}{4}h$
（2）當溫度由${T}_{0}^{\;}$上升至T時，氣體的壓強始終為$\frac{8mg}{3A}$，設x′是溫度達到T時左活塞的高度，由蓋-呂薩克定律得：
$\frac{x}{{T}_{0}^{\;}}=\frac{x′}{T}$
得：$x′=\frac{T}{{T}_{0}^{\;}}x=\frac{5Th}{4{T}_{0}^{\;}}$
活塞對氣體做的功為：
$W=Fx=4mg\frac{5}{4}h（\frac{T}{{T}_{0}^{\;}}-1）=5mgh（\frac{T}{{T}_{0}^{\;}}-1）$
故答案為：$\frac{5}{4}h$              $5mgh（\frac{T}{{T}_{0}^{\;}}-1）$

點評 本題關鍵是明確氣體經歷等壓過程，然后靈活地選擇氣體實驗定律列方程求解，根據熱力學第一定律判斷吸放熱情況．