Question

1．有一平行板電容器，內部為真空，兩個電極板間的間距為$\frac{L}{2}$，極板長為L，極板間有一勻強電場，U為兩極板間的電壓，電子從極板左端的正中央以初速v₀射入，其方向平行于極板，并打在極板上，如圖（甲）所示．電子的電荷量用e表示，質量用m表示，重力不計．回答下面問題（用字母表示結果）．
（1）如圖甲所示，電子的初速v₀至少為何值，電子才能飛出極板；
（2）若極板間沒有電場，只有垂直紙面的勻強磁場，磁感應強度大小為B，電子從極板左端的正中央以平行于極板的初速度v₀射入，如圖乙所示，則電子的初速度v₀為何值，電子才能飛出極板？

Answer 1

分析 （1）電子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向作初速度為零的勻加速直線運動；當電子剛好打到極板邊緣時，水平位移等于板長L，豎直位移等于$\frac{L}{2}$，根據運動的分解法，由牛頓第二定律和運動學公式結合可求此時電子的初速v₀，即為電子能避開電極板，逸出電容器外的最小速度；
（2）若電容器內沒有電場，只有垂直進入紙面的均勻磁場，電子在磁場中做勻速圓周運動，當電子剛好從下右邊緣飛出磁場時速度最大，當電子從下板左邊緣飛出磁場時速度最小，由幾何知識求出電子軌跡的半徑，由牛頓第二定律求出速度，得到速度的范圍．

解答 解：（1）設電子剛好打到極板邊緣時的速度為v，則$a=\frac{2eU}{mL}$
豎直方向：$\frac{L}{4}=\frac{1}{2}a{t^2}$
豎直方向：$t=\frac{L}{v}$
解得$v=2\sqrt{\frac{eU}{m}}$
要飛出極板必有：${v_o}＞2\sqrt{\frac{eU}{m}}$
（2）有兩種情況
①電子恰好從左邊出，做半圓周運動其半徑${R_1}=\frac{L}{8}$
根據$e{v}_{1}^{\;}B=m\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}^{\;}}$，得${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{eB}$
解得：${v_1}=\frac{eBL}{8m}$
電子避開極板的條件是$0＜{v_1}＜\frac{eBL}{8m}$
②電子恰好從右邊出，${R_2}^2={L^2}+{（{R_2}-\frac{L}{4}）^2}$
$e{v}_{2}^{\;}B=m\frac{{v}_{2}^{2}}{{R}_{2}^{\;}}$，得${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{2}^{\;}}{eB}$
解得：${v_2}=\frac{17eBL}{8m}$
電子避開極板的條件是${v_2}＞\frac{17eBL}{8m}$
故滿足條件的v_o為0＜v_o＜$\frac{eBL}{8m}$或v_o＞$\frac{17eBL}{8m}$
答：（1）如圖甲所示，電子的初速v₀至少為$2\sqrt{\frac{eU}{m}}$，電子才能飛出極板；
（2）若極板間沒有電場，只有垂直紙面的勻強磁場，磁感應強度大小為B，電子從極板左端的正中央以平行于極板的初速度v₀射入，如圖乙所示，則電子的初速度v₀為為0＜v_o＜$\frac{eBL}{8m}$或v_o＞$\frac{17eBL}{8m}$，電子才能飛出極板

點評 本題是電場與磁場兩種偏轉研究方法的對比，電場中運用運動的分解法，而磁場中根據幾何知識求解軌跡半徑，由牛頓第二定律求解，注意挖掘隱含的臨界條件．