Question

6．當物體從高空下落時，所受阻力會隨物體的速度增大而增大，因此下落一段距離后將勻速下落，這個速度稱為此物體下落的收尾速度．研究發現，在相同環境條件下，球形物體的收尾速度僅與球的半徑和質量有關．下表是某次研究的實驗數據，g取10m/s²．

小球編號	A	B	C	D	E
小球的半徑r（×10-2m）	0.5	0.5	1.5	2	2.5
小球的質量m（×10-3kg）	2	5	45	40	100
小球的收尾速度v（m/s）	16	40	40	20	32

（1）據表中的數據可以求出B球與C球在達到收尾速度時所受阻力之比為f₁：f₂=1：9．
（2）根據表中的數據，可歸納出球型物體所受阻力f與球的速度大小及球的半徑的關系為（寫出有關字母表達式，比例系數用k表示）f=kvr²，并可求出式中比例系數的k數值和單位為50N•s/m³．
（3）現將C號和D號小球用輕質細線連接，若它們在下落時所受阻力與單獨下落時的規律相同，讓它們同時從足夠高的高度下落，則它們的收尾速度大小為v=27.2m/s．

Answer 1

分析 （1）小球達到收尾速度時，小球做勻速直線運動，阻力與重力二力平衡．由平衡條件得即可求出B球與C球在達到終極速度時所受阻力之比；
（2）由小球A、B、C、E的實驗數據，歸納出小球收尾速度和小球質量、小球半徑的定量關系：v=$\frac{2m}{{r}^{2}}$；
（3）將C號和D號小球用細線連接后，求出它們的收尾速度．

解答 解：（1）小球在達到終極速度時為平衡狀態，
則有：f=mg，
所以f₁：f₂=m_B：m_C=1：9．
（2）由表中A、B球的有關數據可得，
阻力與速度成正比，即f∝v，
由表中B、C球有關數據可得，
阻力與球的半徑的平方成正比，即f∝r²，
綜上所述：球型物體所受阻力f與球的速度大小成正比，與球的半徑的平方成正比，
即：f=kvr² ，
將E組數據代入解得：k=$\frac{100×1{0}^{-3}×10}{（2.5×1{0}^{-2}）^{2}×32}$=50N•s/m³．               
（3）將C號和D號小球用細線連接后，其收尾速度應滿足：
m_Cg+m_Dg=f_C+f_D，
則有：m_Cg+m_Dg=kv（r_C²+r_D²），
代入數據可解得：v=$\frac{（45+40）×1{0}^{-3}×10}{50×（0.01{5}^{2}+0.0{2}^{2}）}$m/s=27.2m/s．
故答案為：（1）1：9；（2）kvr²；50Ns/m³；（3）27.2．

點評 本題是一道信息給予題，能從表格數據歸納出收尾速度、質量、半徑的定量關系是本題的關鍵，有一定的難度．