Question

4．如圖所示，內側為圓錐凹面的圓柱固定在可以繞豎直軸旋轉的水平轉臺上，圓錐凹面與水平面夾角為θ，轉臺轉軸與圓錐凹面的對稱軸OO′重合．轉臺以一定角速度ω勻速旋轉，一質量為m的小物塊落入圓錐凹面內，經過一段時間后，小物塊隨圓錐凹面一起轉動且相對圓錐凹面靜止，小物塊和O點的距離為L，重力加速度大小為g．若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零．
（1）求ω₀；
（2）若ω=（1±k）ω₀，且0＜k＜1，小物塊仍相對圓錐凹面靜止，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出角速度的大小．
（2）當ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，當ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于向心力，摩擦力方向沿錐面向上，抓住豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出摩擦力的大�。�

解答 解：（1）當ω=ω₀時，小物塊受重力和支持力，由牛頓第二定律得，
$mgtanθ=m{ω}_{0}^{2}Lcosθ$，
解得ω₀=$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$．
（2）當ω=（1+k）ω₀時，小物塊做圓周運動所需向心力變大，則摩擦力方向沿錐面向下，對小物塊受力分析，
水平方向：${F}_{N}sinθ+fcosθ=m{ω}^{2}Lsinθ$，
豎直方向：F_Ncosθ-fsinθ=mg，
解得f=k（2+k）mgsinθ．
當ω=（1-k）ω₀時，小物塊做圓周運動所需向心力變小，則摩擦力方向沿錐面向上，對小物塊分析，
水平方方向：FNsinθ-fcosθ=mω²Lcosθ，
豎直方向：F_Ncosθ+fsinθ=mg，
解得f=k（2-k）mgsinθ．
答：（1）ω₀為$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$；
（2）當ω=（1+k）ω₀時，f=k（2+k）mgsinθ，方向沿錐面向下；當ω=（1-k）ω₀時，f=k（2-k）mgsinθ，方向沿錐面向上．

點評 解決本題的關鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進行求解．