Question

1．據報道，美國國家航空航天局（NASA）首次在太陽系外發現“類地”行星Kepler-186f．若宇航員乘坐宇宙飛船到達該行星，進行科學觀測：該行星自轉周期為T；宇航員在該行星“北極”距該行星地面附近h自由釋放一個小球（引力視為恒力），落地時間為t已知該行星半徑為R，萬有引力常量為G，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 該行星的第一宇宙速度為$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
• B． 該行星的平均密度為$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$
• C． 如果該行星存在一顆同步衛星，其距行星表面高度為$\root{3}{\frac{k{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$
• D． 宇宙飛船繞該星球做圓周運動的周期大于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$

Answer 1

分析 根據自由落體運動的位移時間公式求出行星表面的重力加速度，結合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度；根據萬有引力等于重力求出行星的質量，結合密度公式求出行星的平均密度；根據萬有引力提供向心力，求出行星同步衛星的軌道半徑，從而得出衛星距離行星的高度．根據重力提供向心力求出宇宙飛船的最小周期．

解答 解：A、根據h=$\frac{1}{2}$gt²得，行星表面的重力加速度g=$\frac{2h}{{t}^{2}}$，根據mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，行星的第一宇宙速度v=$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故A正確；
B、根據mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$得，行星的質量M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$，則行星的平均密度ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{2}}$=$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$，故B正確；
C、根據G$\frac{Mm}{（R+h）^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$（R+h），mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$解得：h=$\root{3}{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$-R，故C錯誤；
D、根據mg=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$R得，最小周期T=πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故D正確；
故選：ABD．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．