Question

如圖所示，能發射電子的陰極k和金屬板P之間所加電壓為U₁，其右側有一平行板電容器，已知平行板的板長為L，板間距離為d，且電容器的上極板帶負電荷，下極板帶等量的正電荷，在兩極板間還存在有垂直于紙面的勻強磁場．從陰極k發出的電子被kP之間的電場加速后從P板上的小孔О射出，然后射入電容器并剛好從兩板正中間沿直線ОО′射出電容器，如果在電子進入電容器前撤去板間電場而不改變磁場，則電子剛好能從平行板的右側邊緣射出，不計電子初速度、重力和電子間的相互作用，且整個裝置放在真空中．求：
（1）勻強磁場的磁感應強度的方向；
（2）加在電容器兩板間的電壓．

Answer 1

分析：（1）在撤去電場前，電子受到電場力和洛倫茲力作用，沿直線運動，則電場力和洛倫茲力平衡，電子做勻速直線運動．電場力方向向下，磁場力方向向上，根據左手定則判斷磁場方向．
（2）未撤去電場時，由平衡條件求出磁感應強度B．撤去板間電場而不改變磁場時，電子受洛倫茲力作用做勻速圓周運動．電子剛好能從平行板的右側邊緣射出，根據板長和板間距離求出電子運動的半徑．根據牛頓第二定律求解電容器兩板間的電壓．

解答：解：（1）在撤去電場前，電子做勻速直線運動，電場力和洛倫茲力平衡．由于電場力方向向下，故洛倫茲力方向向上，由左手定則可知，磁場方向垂直于紙面向外．
    （2）電子在加速過程中有qU1=

1

2

mv2 
      得到v=

2qU1 m

               ①
    電子剛好從板邊緣射出，設運動的軌道半徑為R，
       則有R2=L2+(R-

d

2

)2，R=

4L2+d2

4d

 ②
    電子在磁場中運動時有Bqv=

mv2

R

        
      得到R=

mv

qB

③
    電子沿直線運動時有Bqv=q

U2

d

          
      得到B=

U2

vd

④
    聯立①②③④解得加在電容器兩板間的電壓
         U2=

8d2U1

4L2+d2

答：（1）勻強磁場的磁感應強度的方向垂直于紙面向外；
   （2）加在電容器兩板間的電壓 U2=

8d2U1

4L2+d2

．

點評：本題電磁場中力學問題，基礎是分析帶電粒子的受情況和運動情況．題中正交的電磁場是速度選擇器模型．