Question

11．如圖甲所示，在光滑絕緣水平桌面內建立xoy坐標系，在第Ⅱ象限內有平行于桌面的勻強電場，場強方向與x軸負方向的夾角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置兩塊相互平行的平板C₁、C₂，兩板間距為d₁=0.6m，板間有豎直向上的勻強磁場，兩板右端在y軸上，板C₁與x軸重合，在其左端緊貼桌面有一小孔M，小孔M離坐標原點O的距離為l₁=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x軸放置一豎直平板C₃，垂足為Q，Q、O相距d₂=0.18m，板C₃長l₂=0.6m．現將一帶負電的小球從桌面上的P點以初速度v₀=2$\sqrt{2}$m/s垂直于電場方向射出，剛好垂直于x軸穿過C₁板上的M孔，進入磁場區域．已知小球可視為質點，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P點與小孔M在垂直于電場方向上的距離為s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考慮空氣阻力．求：

（1）勻強電場的場強大小；
（2）要使帶電小球無碰撞地穿出磁場并打到平板C₃上，求磁感應強度B的最小值；
（3）以小球從M點進入磁場開始計時，磁場的磁感應強度隨時間呈周期性變化，如圖乙所示，則小球能否打在平板C₃上？若能，求出所打位置到Q點距離；不能，求出其軌跡與平板C₃間的最短距離．（$\sqrt{3}$=1.73，計算結果保留兩位小數）

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限內做類平拋運動，結合牛頓第二定律和運動學公式求出電場強度的大小．
（2）根據類平拋運動的規律求出經過M點的速度，作出粒子在磁場中的臨界運動軌跡，結合幾何關系和半徑公式求出磁感應強度的最小值．
（3）根據半徑公式和周期公式求出粒子在磁場中運動的軌道半徑和周期，由磁場的周期得出小球在磁場中運動的軌跡圖，以及得出在一個磁場周期內小球在x軸方向的位移，判斷能否打在平板C₃上，若能打在平板C₃上，通過幾何關系求出其軌跡與平板C₃間的最短距離．

解答 解：（1）小球在第Ⅱ象限內做類平拋運動有：
v₀t=s
at=v₀tanθ
由牛頓第二定律有：qE=ma
代入據解得：E=$2\sqrt{2}N/C$．
（2）設小球通過M點時的速度為v，由類平拋運動規律有：$v=\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}m/s$=4m/s，
小球垂直磁場方向進入兩板間做勻速圓周運動，軌跡如圖，由牛頓第二定律有：
$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：B=$\frac{mv}{qR}$
小球剛好不與C₂板相碰時磁感應強度最小設為B₂，此時粒子的軌跡半徑為R₂，由幾何關系有：
R₂=d₁，
代入數據解得：${B}_{2}=\frac{1}{3}T$．
（3）小球進入磁場做勻速圓周運動，設半徑為為R₃，周期為T有：
${R}_{3}=\frac{mv}{q{B}_{3}}$，
代入數據解得：R₃=0.09m．
$T=\frac{2π{R}_{3}}{v}$，
代入數據解得：T=$\frac{9π}{200}$．
由磁場周期${T}_{0}=\frac{2}{3}T$得小球在磁場中運動的軌跡如圖
可得：一個磁場周期內小球在x軸方向的位移為3R₃
由分析知有：l₁=（3n+2）R₃，n=2
則小球能打在平板C₃上，設位置到Q點距離為h有：
h=2（n+1）R₃cosβ-R₃，
解得：h=$3\sqrt{3}{R}_{3}-{R}_{3}$=0.38m．
答：（1）勻強電場的場強大小為$2\sqrt{2}N/C$；
（2）磁感應強度B的最小值為$\frac{1}{3}$T；
（3）小球能打在平板C₃上，軌跡與平板C₃間的最短距離為0.38m．

點評 本題關鍵是明確粒子的運動規律、畫出運動軌跡，然后結合牛頓第二定律、類似平拋運動的分位移公式和幾何關系列式求解，難度較大．