Question

17．天宮二號在距地面h高度處繞地球做勻速圓周運動．2016年10月19日，神舟十一號飛船發射成功，與天宮二號空間站圓滿完成自動交會對接．已知地球質量為M，半徑為R，引力常量為G．
（1）求天宮二號在軌運行線速度v的大小；
（2）求天宮二號在軌運行周期T；
（3）若天宮二號在軌運行周期T=90分鐘，在赤道上空由西向東運動．請結合計算，分析說明天宮二號中的航天員在24小時之內大約能看到幾次日出．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力提供向心力求“天宮二號”繞地球的運動的線速度大小；
（2）根據萬有引力提供向心力求“天宮二號”繞地球的運動周期；
（3）飛船每運行一周可以看到一次日出日落，飛船飛行24h，共計飛行多少圈就能看到多少次日出日落

解答 解：（1）設天宮二號質量為m，根據萬有引力定律和牛頓第二定律
萬有引力提供向心力    $G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R+h}$
解得線速度         $v=\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$
（2）根據周期公式  $G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$
解得周期     $T=2π（R+h）\sqrt{\frac{R+h}{GM}}$
（3）一天之內，可認為地球相對于太陽的位置近似不變，所以天宮二號繞行地球一周，可看到1次日出．因為在24小時之內天宮二號繞地球的圈數$n=\frac{t}{T}=\frac{24}{1.5}=16$圈，所以一天之內大約能看到16次日出．        
答：（1）天宮二號在軌運行線速度v的大小為$\sqrt{\frac{GM}{R+h}}$；
（2）天宮二號在軌運行周期T為$2π（R+h）\sqrt{\frac{R+h}{GM}}$；
（3）天宮二號中的航天員在24小時之內大約能看到16次日出．

點評 本題要掌握萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=ma=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r}=m{ω}_{\;}^{2}r=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$這個核心原理，同時要能夠根據題意選擇恰當的向心力的表達式．