Question

4．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態(tài)時其右端位于B點．水平桌面右側某一位置有一豎直放置的、左上角有一開口的光滑圓弧軌道MNP，其半徑為R=0.5m，∠PON=53°，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離是h=0.8m．如用質量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊恰停止在桌面邊緣D點．現(xiàn)換用同種材料制成的質量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊能飛離桌面并恰好由P點沿切線滑入光滑圓軌道MNP（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．

（1）求物體m₂運動到M點時受到軌道的壓力；
（2）求彈簧的彈性勢能E_P；
（3）如圓弧軌道的位置以及∠PON可任意調節(jié)，使從C點釋放又從D點滑出的質量為m=km₁物塊都能由P點沿切線滑入圓弧軌道，并且還能通過最高點M，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先據平拋運動求解D點的速度，再由功能關系和牛頓第二定律解物體m₂運動到M點時受到軌道的壓力；
（2）根據功能關系求彈簧的彈性勢能；
（3）由功能關系和牛頓第二定律相結合可求k的取值范圍．

解答 解：（1）設物塊塊由D點以初速度v_D做平拋，落到P點時其豎直速度為：v_y=$\sqrt{2gh}$=4m/s                                   
由速度合成可得：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan53°，
代入數據解得：v_D=3m/s                  
若物塊到達M點速度為v_M，則：v_P=$\sqrt{{v}_{D}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由功能關系得：$\frac{1}{2}$m₂v_M²+mg•1.6R=$\frac{1}{2}$m₂v_P²
代入數據解得：v_M=3m/s             
軌道對物塊的壓力為F_N，則F_N+m₂g=m₂$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
代入數據解得：F_N=1.6N    
（2）設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數為μ，
釋放m₁時，E_P=μm₁gS_CD                           
釋放m₂時，E_P-μm₂gS_CD=$\frac{1}{2}$m₂v_D²
所以彈簧的彈性勢能為：E_P=m₂v_D²                                          
（3）設質量為km₁的物塊，到M點的最小速度為v，
由牛頓第二定律得：km₁g=km₁$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$
根據功能關系有：E_P-μkm₁gS_CD=$\frac{1}{2}$km₁v_D²，
又：v_D≥$\sqrt{gR}$                                                 
所以有：E_P（1-k）≥$\frac{1}{2}$km₁gR                                         
代入可得：1.8（1-k）≥k
解得：0＜k≤$\frac{9}{14}$．
答：（1）物體運動到M點時受到軌道的壓力為1.6N；
（2）彈簧的彈性勢能為m₂v_D²；
（3）k的取值范圍為0＜k≤$\frac{9}{14}$．

點評 該題考查動能定理的應用，設計的過程比較多，此題注意分析運動過程，找清各物理量之間的關系，然后根據各運動過程運用所學知識解答即可．