Question

14．空間有一顆繞恒星運動的球形行星，此行星上一晝夜是6h，在行星的赤道處，用彈簧測力計稱量物體的重力加速度比在兩極測量的讀數小10%，已知萬有引力恒量是6.67×10^-11N•m²/kg²，求此行星的密度．（計算結果保留一位有效數字）

Answer 1

分析 此行星上一晝夜的時間是t，故其自轉周期為t；在行星的赤道處用彈簧秤測量物體的重力的讀數比在兩極時測量的讀數小10%，對赤道物體物體受到的萬有引力和重力的合力提供向心力列式，兩極位置根據重力等于萬有引力列式；最后聯立求解．

解答 解：由題意知行星自轉的周期為6h．設行星的質量為M，半徑為R，平均密度為ρ，則：
$M=\frac{4π}{3}{R^3}ρ$，
兩極的重力為物體受到的萬有引力$F=G\frac{Mm}{R^2}$，m是一個假定的物體的質量．-----------①
物體在赤道隨行星自轉的向心力為：${F_向}=m{（\frac{2π}{T}）^2}R$-------------②
彈簧測力計的讀數為F'由題意得到：F'=F-F_向----------------③
$G\frac{Mm}{R^2}-m{（{\frac{2π}{T}}）^2}R=0.9G\frac{Mm}{R^2}$------------④
而$M=\frac{4π}{3}{R^3}ρ$-------------⑤
代入數據得到：3×10³kg/m³．
答：此行星的密度為3×10³kg/m³．

點評 本題關鍵明確物體的運動規律，然后結合萬有引力定律提供向心力列式后聯立求解．