Question

4．如圖所示，輕質彈簧一端固定在水平面上O點的轉軸上，另一端與一質量為m、套在粗糙固定直桿A處的小球（可視為質點）相連，直桿的傾角為30°，OA=OC，B為AC的中點，OB等于彈簧原長．小球從A處由靜止開始下滑，初始加速度大小為a_A，第一次經過B處的速度大小為v，運動到C處速度為0，后又以大小為a_C的初始加速度由靜止開始向上滑行．設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，重力加速度為g．下列說法正確的是（　　）

• A． 小球可以返回到出發點A處
• B． 撤去彈簧，小球可以在直桿上處于靜止
• C． 彈簧具有的最大彈性勢能為$\frac{1}{2}m{v^2}$
• D． a_A-a_C=g

Answer 1

分析 根據重力沿斜面向下的分力與最大靜摩擦力的關系，判斷出撤去彈簧，小球在直桿上不能處于靜止．對小球A到B的過程和A到C的過程，分別根據能量守恒定律列式，可求得彈簧具有的最大彈性勢能，由牛頓第二定律研究A、C兩點的加速度，相比較可得到a_A-a_C=g．

解答 解：AC、設小球從A運動到B的過程克服摩擦力做功為W_f，AB間的豎直高度為h，小球的質量為m，彈簧具有的最大彈性勢能為E_p．
根據能量守恒定律得：
對于小球A到B的過程有：mgh+E_p=$\frac{1}{2}$mv²+W_f，
A到C的過程有：2mgh+E_p=2W_f+E_p，解得：W_f=mgh，E_p=$\frac{1}{2}$mv²．
小球從C點向上運動時，假設能返回到A點，則由能量守恒定律得：
    E_p=2W_f+2mgh+E_p，該式違反了能量守恒定律，可知小球不能返回到出發點A處．故A錯誤，C正確．
B、設從A運動到C摩擦力的平均值為$\overline{f}$，AB=s，由W_f=mgh得：$\overline{f}$s=mgssin30°
在B點，摩擦力 f=μmgcos30°，由于彈簧對小球有拉力（除B點外），小球對桿的壓力大于μmgcos30°，所以$\overline{f}$＞μmgcos30°
可得 mgsin30°＞μmgcos30°，因此撤去彈簧，小球不能在直桿上處于靜止．故B錯誤．
D、根據牛頓第二定律得：
在A點有：Fcos30°+mgsin30°-f=ma_A；
在C點有：Fcos30°-f-mgsin30°=ma_C；
兩式相減得：a_A-a_C=g．故D正確．
故選：CD

點評 解決本題的關鍵要靈活運用能量守恒定律，對系統分段列式，要注意本題中小球的機械能不守恒，也不能只對小球運用能量守恒定律列方程，而要對彈簧與小球組成的系統列能量守恒的方程．