Question

16．如圖所示，傾角為37°，長為l=16m的傳送帶，動摩擦因數μ=0.5，在傳送帶頂端A處初速度地釋放一個質量為m=0.5kg的工件，已知sin37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²．求：
（1）若傳送帶靜止時，物體從頂端A滑到底端B的時間；
（2）若傳送帶逆時針轉動時，轉動速度為v=10m/s，當工件釋放后經過1.5s，傳送帶因故障停止轉動，通過計算判斷，站在靠近底端B的工人發現后能在B處接住該工件嗎？設工人的反應時間為0.4s．

Answer 1

分析 （1）傳送帶靜止時，先由牛頓第二定律求出物體的加速度，再由位移公式求時間．
（2）若傳送帶逆時針轉動時，物體放在傳送帶上后，開始階段，傳送帶的速度大于物體的速度，傳送帶給物體一沿斜面向下的滑動摩擦力，物體由靜止開始勻加速下滑，當物體加速至與傳送帶速度相等時，由于μ＜tan37°，物體在重力作用下將繼續加速下滑，此后物體的速度大于傳送帶的速度，傳送帶給物體沿傳送帶向上的滑動摩擦力，但合力沿傳送帶向下，物體繼續加速下滑，綜上可知，滑動摩擦力的方向在獲得共同速度的瞬間發生了“突變”；根據牛頓第二定律求出兩段的加速度，再根據速度時間關系求兩段過程的時間；然后與1.5s比較，同時判斷出是否到達B點，以及傳送帶停止運動后物體運動的時間；最后做出判斷．

解答 解：（1）若傳送帶靜止時，根據牛頓第二定律得
   mgsin37°-μmgcos37°=ma 　　
所以：a=gsin37°-μgcos37°
代入數據得：a=2m/s²
由l=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
得 t=$\sqrt{\frac{2l}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×16}{2}}$=4s．
（2）若傳送帶逆時針轉動時，開始階段，由牛頓第二定律得：
  mgsin 37°+μmgcos37°=ma₁ 　　
所以：a₁=gsin37°+μgcos37°=10m/s²
物體加速至與傳送帶速度相等時需要的時間：
  t₁=$\frac{v}{{a}_{1}}$=1s；
物體發生的位移：x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=5m＜16m，所以物體加速到10m/s 時仍未到達B點，此時摩擦力方向改變．
第二階段，由牛頓第二定律有：
  mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
所以：a₂=2m/s²
設第二階段物體滑動到B的時間為t₂ ，則：
  l-x₁=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²
解得：t₂=1s＞（1.5-t₁）=1.5-1=0.5s
由于傳送帶停止運動后的加速度與傳送帶靜止時的加速度相等，也是2m/s²，所以在傳送帶圖中運動后物體運動再到B點的時間與傳送帶仍然以逆時針方向運動的時間是相等的，即：t₃=t₂-（1.5-t₁）=1-（1.5-1）=0.5s
可知大于工人的反應時間為0.4s，則工人發現后能在B點接住該工件．
答：
（1）若傳送帶靜止時，物體從頂端A滑到底端B的時間是4s．
（2）工人發現后能在B點接住該工件．

點評 從本題可以總結出，皮帶傳送物體所受摩擦力可能發生突變，不論是其大小的突變，還是其方向的突變，都發生在物體的速度與傳送帶速度相等的時刻．