Question

2．如圖所示，質量m_A=1kg的直桿A懸于離地面某一高度處，桿A上套有質量 m_B=1kg的小環B．將小環B從桿的最上端由靜止釋放并開始計時，環做加速度a₁=8m/s²的勻加速運動．經過時間t₁=0.5s后，將桿A上方的細線剪斷，桿A開始下落，t₂=2s時桿A的下端第一次觸地，此間環B始終未脫離桿A，不計空氣阻力，已知重力加速度為g=10m/s²，求：
（1）桿A剛下落時的加速度a₂；
（2）桿A的最小長度L_min；
（3）2秒內，環B對桿A所做的功W及系統產生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）細線剪斷前，對小環B，利用牛頓第二定律求出A與B之間的摩擦力大小；再對A，運用牛頓第二定律求剛下落時的加速度a₂；
（2）設當A下落經過△t 時間時二者的速度相等，由速度公式求出時間和共同速度，之后二者相對靜止．根據位移公式求解即可；
（3）從細線剪斷開始，到兩者共速環B對桿A才有做功，根據功的計算公式求環B對桿A所做的功W．
系統產生的熱量等于二者之間的摩擦力與相對位移的乘積，先求出相對位移，再根據Q=fs即可求出．

解答 解：（1）細線剪斷前，小環B，由牛頓第二定律可得：m_Bg-f=m_Ba₁
解得：f=2N
t₁=0.5s時，對桿A，由牛頓第二定律可得：m_Ag+f=m_Aa₂
得：a₂=12m/s²        
（2）細線剪斷后，設經過△t 后兩者共速為v_共．
對B，有 v_共=a₁（t₁+△t）
對A，有  v_共=a₂△t
可得：△t=1s；v_共=12m/s
因為（t₁+△t）＜t₂，說明已在A桿第一次觸地前共速，共速后它們一起豎直下拋運動．
對環B：s_B=$\frac{1}{2}{a}_{1}（{t}_{1}+△t）^{2}$=$\frac{1}{2}×8×（0.5+1）^{2}$m=9m
對桿A：s_A=$\frac{1}{2}{a}_{2}△{t}^{2}$=$\frac{1}{2}×12×{1}^{2}$=6m
桿的最小長度 L_min=s_B-s_A=3m
（3）從細線剪斷始，到兩者共速環B對桿A才有做功：W=f•s_B=2×6=12J
系統產生熱量 Q=fL_min=2×3=6J
答：
（1）桿A剛下落時的加速度a₂是12m/s²．
（2）桿A的最小長度L_min是3m．
（3）2秒內，環B對桿A所做的功W是12J，系統產生的熱量Q是6J．

點評 答本題關鍵是對環和桿受力分析，結合運動狀態，根據牛頓第二定律求出各個過程的加速度，最后結合運動學公式列式求解．要注意摩擦生熱與相對位移有關．