Question

13．（12分） 萬有引力定律的發現是17世紀最偉大的物理成就之一。牛頓通過下述兩個步驟完成了萬有引力定律的數學推導。

(1)在前人研究的基礎上，牛頓證明了“行星和太陽之間的引力跟行星的質量成正比，跟行星到太陽之間的距離的二次方成反比”。

(2)據牛頓第三定律，牛頓提出：“既然這個引力與行星的質量成正比，當然也應該和太陽的質量成正比”。

請你根據上述推導思路，完成萬有引力定律數學表達式的推導。(注意：要說明各個字母的含義及推導依據)

Answer 1

解： 設行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽對行星引力F提供行星做圓周運動的向心力，即  F=mv²/r

式中r是太陽和行星間的距離，v是行星運動的線速度，m是行星的質量。

設行星運動周期為T，則有  v=2πr/T

代入上式得 

由開普勒定律知   r³/T²是個常數，

所以引力F和行星質量m成正比，和行星到太陽的距離的二次方成反比

根據牛頓第三定律知引力F也和太陽的質量成正比。

設太陽的質量為M，則有F∝

寫成等式就是  F=，G是常量