Question

12．汽車若在起伏不平的公路上行駛時，應控制車速，以避免造成危險．如圖所示為起伏不平的公路簡化的模型圖：設公路為若干段半徑r為50m的圓弧相切連接，其中A、C為最高點，B、D為最低點，一質量為2000kg的汽車（作質點處理）行駛在公路上，（g=10m/s²）試求：
（1）當汽車保持大小為20m/s的速度在公路上行駛時，路面的最高點和最低點受到壓力各為多大
（2）速度為多大時可使汽車在最高點對公路的壓力為零
（3）簡要回答為什么汽車通過拱形橋面時，速度不宜太大．

Answer 1

分析 （1）汽車在路面的最高點和最低點時均由重力和支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求得支持力，從而得到壓力．
（2）汽車在最高點對公路的壓力為零時，僅由重力提供向心力，再由牛頓第二定律求速度．
（3）速度太大時，車與地面的摩擦力明顯減小甚至為0，會給汽車剎車和轉彎帶來困難，甚至可能使汽車騰空拋出．

解答 解：（1）以汽車為研究對象，根據牛頓第二定律有：
最高點：$mg-{F_1}=m\frac{v^2}{r}$，
得：${F_1}=mg-m\frac{v^2}{r}=4000N$
由牛頓第三定律知，汽車對路面的壓力 F₁′=F₁=4000N
最低點：${F_2}-mg=m\frac{v^2}{r}$，
得：${F_2}=mg+m\frac{v^2}{r}=36000N$
由牛頓第三定律知，汽車對路面的壓力 F₂′=F₂=36000N
（2）汽車在最高點對公路的壓力為零時，由mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$得：
$v=\sqrt{gr}=22.4m/s$
（3）若速度太大，則車對地面的壓力明顯減小甚至為0，則車與地面的摩擦力明顯減小甚至為0，會給汽車剎車和轉彎帶來困難，甚至可能使汽車騰空拋出．
答：（1）當汽車保持大小為20m/s的速度在公路上行駛時，路面的最高點和最低點受到壓力各為4000N和36000N．
（2）速度為22.4m/s時可使汽車在最高點對公路的壓力為零．
（3）若速度太大，則車對地面的壓力明顯減小甚至為0，則車與地面的摩擦力明顯減小甚至為0，會給汽車剎車和轉彎帶來困難，甚至可能使汽車騰空拋出．

點評 解決本題的關鍵知道汽車做圓周運動時向心力的來源：指向圓心的合力，結合牛頓第二定律進行求解．