Question

4．如圖所示，輕彈簧一端固定在水平地面上，另一端點在O位置．質量為m=2kg的物塊A（可視為質點）以初速度v₀=$\sqrt{10}$m/s從彈簧正上方P點向下運動，與彈簧接觸后壓縮彈簧，將彈簧上端壓到O′點位置后，A又被彈簧彈回．物塊A離開彈簧后，恰好回到P點．已知OP的距離為x₀=0.8m，整個裝置放在某種介質中，整個運動過程中物塊受到的介質阻力為物塊重力的0.25倍，彈簧均在彈性限度內，取g=10m/s²．求：
（1）彈簧在最低點O′處的彈性勢能；
（2）在輕彈簧旁邊并排放置另一根與之完全相同的彈簧．若將另一個與A材料相同的物塊B（可視為質點）與兩根彈簧上端拴接，設B的質量為物塊A的k倍．現將A與B并排在一起，使兩根彈簧仍壓縮到O′點位置，然后從靜止釋放，最終A能離開B但未沖過P點，求k需滿足的條件？

Answer 1

分析 （1）對A物體從P點到返回P點的過程，運用動能定理列式．A物體從P點到O′的過程，運用能量守恒定律列式，聯立求解彈簧在最低點O′處的彈性勢能．
（2）A物體在與B物體分離時，由牛頓第二定律分別對A和AB整體列方程，求出二者分離時彈簧的彈力，確定此時彈簧的狀態．再對AB剛好分離和A物體從分離時到剛好能到達P點的過程分別運用能量守恒定律列式，即可求解．

解答 解：（1）A物體從P點到返回P點的過程，由動能定理有
-mg（x₀+x₁）-0.25mg（x₀+x₁）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$     ①
A物體從P點到O′的過程，由能量守恒定律得：
  E_p=mg（x₀+x₁）-0.25mg（x₀+x₁）+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$     ②
由①②并代入數據解得    E_p=25J                    
（2）A物體在與B物體分離時，由牛頓第二定律有  0.25mg+mg=ma    ③
對于AB整體有  （k+1）mg+0.25（k+1）mg+F=（k+1）ma  ④
由③④并代入數據解得   F=0  即二者在彈簧原長時分離
剛好分離時，對系統有：2E_p=（1+k）mgx₁+0.25（1+k）mgx₁ ⑤
解得  k=9                                   
A物體從分離時到剛好能到達P點的過程中，設剛好分離時的速度為v，有：
-（kmg+0.25mg）x₀=0-$\frac{1}{2}•km{v}^{2}$               ⑥
系統從O′到恰好分離的過程，由能量守恒定律有：
  （k+1）mgx₁+0.25（k+1）mgx₁+$\frac{1}{2}（k+1）m{v}^{2}$=2E_p       ⑦
由⑥⑦并代入數據解得解得  k=1            
故1≤k≤9
答：
（1）彈簧在最低點O′處的彈性勢能是25J；
（2）k需滿足的條件是1≤k≤9．

點評 本題關鍵要靈活選擇過程，多次根據動能定理和能量守恒定律列式，要抓住彈簧彈性勢能的關系，尋找兩種情況下相等的量．