Question

太陽系以外存在著許多恒星與行星組成的雙星系統．它們運行的原理可以理解為，質量為M的恒星和質量為m的行星（M＞m），在它們之間的萬有引力作用下有規則地運動著．如圖所示，我們可認為行星在以某一定點C為中心、半徑為a的圓周上做勻速圓周運動（圖中沒有表示出恒星）．設萬有引力常量為G，恒星和行星的大小可忽略不計．
（1）恒星與點C間的距離是

 

；
（2）試在圖中粗略畫出恒星運動的軌道和位置；
（3）計算恒星的運行速率v．

Answer 1

分析：（1）恒星與行星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，相互之間的萬有引力提供各自的向心力，而且兩顆恒星有相同的角速度和周期．根據牛頓第二定律分別對兩星進行列式，來求解．
（2）根據恒星、行星與圓心C總在同一直線上，畫出恒星運動的軌道和位置；
（3）根據萬有引力等于向心力，由牛頓第二定律列式求解恒星的運行速率v．

解答：解：（1）對行星m，F=mω²R_m…①
對恒星M，F′=Mω²R_M…②
則得 RM=

m

M

a
（2）恒星與行星圍繞它們連線上的某一固定點分別做勻速圓周運動，恒星、行星與圓心C總在同一直線上，恒星運動的軌道和位置大致如圖．
（3）對恒星M：

Mv2

RM

=G

Mm

(Rm+RM)2

代入數據得 v=

m

M+m

GM a

答：（1）

m

M

a
（2）如圖所示．
（3）恒星的運行速率v為

m

M+m

GM a

．

點評：本題是雙星問題，關鍵抓住兩點：一是雙星由相互間的萬有引力提供向心力；雙星的條件是：角速度或周期相等．