Question

1．如圖所示，有一固定的且內壁光滑的半球面，球心為O，最低點為C，在其內壁上有兩個質量相同的小球（可視為質點）A和B，在兩個高度不同的水平面內做勻速圓周運動，A球的軌跡平面高于B球的軌跡平面，A、B兩球與O點的連線與豎直線OC間的夾角分別為α=53°和β=37°，以最低點C所在的水平面為重力勢能的參考平面，則（sin37°=$\frac{3}{5}$，cos37°=$\frac{4}{5}$；sin53°=$\frac{4}{5}$，cos53°=$\frac{3}{5}$）（　　）

• A． A、B兩球所受支持力的大小之比為3：4
• B． A、B兩球運動的周期之比為4：3
• C． A、B兩球的動能之比為16：9
• D． A、B兩球的機械能之比為112：51

Answer 1

分析 小球受重力和支持力，靠兩個力的合力提供向心力，根據平行四邊形定則求出支持力之比，根據牛頓第二定律求出周期、線速度之比．從而得出動能之比．根據高度求出重力勢能，從而得出重力勢能之比，即可得到機械能之比．

解答 解：A、對任意一球，根據平行四邊形定則得：所受的支持力 N=$\frac{mg}{cosθ}$，θ是小球所在半徑與豎直方向的夾角，則得 $\frac{{N}_{A}}{{N}_{B}}$=$\frac{cos37°}{cos53°}$=$\frac{4}{3}$．故A錯誤．
BC、根據mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，r=Rsinθ，小球的動能為 E_k=$\frac{1}{2}$mv²，聯立解得 E_k=$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ，則A、B兩球的動能之比 $\frac{{E}_{KA}}{{E}_{KB}}$=$\frac{tan53°sin53°}{tan37°sin37°}$=$\frac{64}{27}$．
解得，周期為 T=2π$\sqrt{\frac{Rcosθ}{g}}$，則A、B兩球運動的周期之比為  $\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\sqrt{\frac{cos53°}{cos37°}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．故B、C錯誤．
D、小球的重力勢能為：E_p=mgR（1-cosθ），機械能為：E=E_K+E_P=mgR（1-cosθ）+$\frac{1}{2}$mgRtanθsinθ=mgR（1+$\frac{1}{2}$tanθsinθ-cosθ）；
得：A、B兩球的機械能之比為 $\frac{{E}_{A}}{{E}_{B}}$=$\frac{2+tan53°sin53°-2cos53°}{2+tan37°sin37°-2cos37°}$=$\frac{112}{51}$．故D正確．
故選：D

點評 解決本題的關鍵搞清向心力的來源，運用牛頓第二定律得出線速度、周期的關系式．同時注意能量關系．